Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

• Название: Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
• Автор: Франсиско Мартин Касальдеррей
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0711-3

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

---

Начиная с Джотто ди Бондоне эти представления стали изменяться. Тогда же начали зарождаться современные представления о живописи. Художник, рассказывающий историю, должен был сделать ее правдоподобной, а создаваемые им портреты должны были обладать физическим сходством с оригиналом. Символы состояли на службе у художника, а не наоборот. Они использовались преимущественно при изображении святых: на портрете святого Иосифа, где по очевидным причинам нельзя было достичь физического сходства, художник изображал его с цветущим посохом, чтобы зритель мог узнать святого. Однако при изображении, например, Данте Алигьери, подробное описание внешности которого было известно, расхождение портрета с описанием не допускалось.

С древних времен было известно, что удаленные предметы на картине должны быть меньше, чем предметы, расположенные вблизи. Художники всегда подчинялись этому правилу, стараясь всего лишь изобразить видимое глазом в упрощенном виде. Примеры перспективных изображений, выполненных в такой технике интуитивной перспективы, можно найти, например, на фресках Помпеи. Считалось, что уменьшение размеров было как-то связано с углом зрительной линии, который уменьшался по мере отдаления предмета.

Угол зрения α, под которым человек виден с определенного расстояния d, уменьшается и становится равным α' при увеличении расстояния дo d',oт наблюдателя до этого человека.

(источник: FMC)

Также было интуитивно понятно, что при изображении помещений параллельные линии пола должны были сходиться в одной точке, равно как и линии потолка. Однако считалось, что эти бесконечно удаленные точки отличались и располагались на одной вертикальной прямой.

Помещение, изображенное по законам интуитивной перспективы с двумя разными точками схода.

(источник: FMC)

На фресках Джотто в базилике Сан-Франческо в Ассизи можно увидеть, как реализуется эта интуитивная перспектива.

Примером может служить фреска «Проповедь перед папой Гонорием III», на которой изображены три арки. Папа, сидящий на возвышении, занимает центральное место. Ступеньки, ведущие к возвышению, расположены неверно по отношению к стенам свода, внутри которого происходит действие. Непросто понять, где расположены некоторые из героев картины — перед колоннами или же за ними. Тем не менее картина выглядит гармоничной, передано ощущение глубины и объема. Линии пола и потолка сходятся в разных точках, расположенных на одной вертикальной линии.

Джотто ди Бондоне. «Проповедь перед папой Гэнорием III».

Что же такое перспектива?

Следует прояснить, что мы будем понимать под словом «перспектива» в рамках этой книги. Эрвин Панофский, один из наиболее выдающихся исследователей в этой области, в своей книге «Перспектива как символическая форма» дает такое определение: «…Перспектива в полном смысле слова есть способность представить отдельные объекты «в сокращении», так что вся картина словно бы превращается в окно, через которое мы смотрим в пространство, а материальная поверхность картины понимается как изобразительная поверхность, на которую проецируется видимое сквозь нее и заключающее в себе все единичные предметы общее пространство».

Как мы уже говорили, первой книгой, в которой описывались математические законы перспективы, стала работа разностороннего гуманиста Леона Баттисты Альберти «О живописи», написанная на латыни и переведенная им же на тосканское наречие. Свой труд Альберти посвятил Филиппо Брунеллески. 

* * *

ПРОЛОГ ТРАКТАТА «О ЖИВОПИСИ» АЛЬБЕРТИ

Я часто дивился, да и сокрушался, видя, как столь отменные и божественные искусства и науки, которые, судя по их произведениям и по свидетельствам историков, изобиловали у доблестнейших древних наших предков, ныне пришли в такой упадок и как бы вовсе утрачены. <…> Посему, от многих слыша, что так оно и есть на самом деле, я и решил, что сама природа, мастерица всех вещей, состарившись и одряхлев, не производит больше на свет ни гигантов, ни людей таких дарований, каких она в чудесном изобилии порождала в свою, я бы сказал, юношескую и более славную пору.

Однако после того, как из долгого изгнания, в котором мы, Альберти, успели состариться, я вернулся сюда в эту нашу, превыше всех прекраснейшую родину, я убедился на примере многих, но в первую голову на тебе, Филиппо [Брунеллески], и на нашем любезнейшем друге скульпторе Донато [Донателло], а также на других, как-то на Ненчо [Гиберти], на Луке [делла Роббиа] и на Мазаччо, что они по дарованию своему ни в одном похвальном деле не уступают кому бы то ни было из древних и прославленных мастеров этих искусств. Так я понял, что в нашей власти достигнуть всяческой похвалы в какой бы то ни было доблести при помощи собственного нашего рвения и умения, а не только по милости природы и времен. Признаюсь тебе: если древним, имевшим в изобилии у кого учиться и кому подражать, было не так трудно подняться до познания этих высших искусств, которые даются нам ныне с такими усилиями, то имена наши заслуживают тем большего признания, что мы без всяких наставников и без всяких образцов создаем искусства и науки неслыханные и невиданные. Где такой черствый и завистливый человек, который не похвалил бы зодчего Пиппо [Брунеллески], имея перед глазами столь великое сооружение, вздымающееся к небесам, настолько обширное, что оно осеняет собою все тосканские народы, и воздвигнутое без всякой помощи подмостей или громоздких лесов, — искуснейшее изобретение, которое поистине, если только я правильно сужу, столь же невероятно в наше время, сколь, быть может, оно было неведомо и недоступно древним?

Однако мне предстоит в другом месте поговорить о твоих заслугах, и о доблести нашего Донато, и всех тех, кто мне дорог своим нравом. Ты же упорствуй, продолжая изобретать изо дня в день те вещи, благодаря которым твое удивительное дарование заслужит тебе вечную славу и имя, а если когда-либо тебя посетит досуг, мне любо будет, что ты снова просмотришь это мое сочиненьице о живописи, которое я написал на тосканском языке, посвятив его тебе. Ты увидишь три книги, и в первой, чисто математической, из глубинных корней природы возникает это прелестное и благороднейшее искусство. Вторая книга вкладывает это искусство в руки художника, различая его области и все доказывая. Третья учит художника, каким он должен быть и каким путем он может достигнуть совершенного искусства и познания всей живописи.

* * *

Основные понятия перспективы

В основе математического представления о перспективе лежит воображаемая пирамида. Ее вершина находится там же, где располагается глаз художника, который считается единственным и неподвижным. Основанием пирамиды служит видимый контур изображаемого предмета. Изображением в перспективе будет пересечение этой пирамиды с плоскостью изображения. Допустим, что мы хотим изобразить на картинной плоскости π прямоугольник ABCD, расположенный на полу, так, как его видит наблюдатель, стоящий в точке Р. При этом глаз наблюдателя расположен на высоте р и на расстоянии d от картины, то есть в точке О. Для этого нам нужно построить пирамиду OABCD, которая пересечет картинную плоскость π в точках ABCD'. Трапеция ABC'D' будет перспективным изображением прямоугольника ABCD.

Основные понятия перспективы.

(источник: FMC)

Перспективным изображением является проекция с центром в точке О на часть бесконечной плоскости π, ограниченной краями картины. Картинная плоскость π в нашем случае перпендикулярна плоскости основания, или горизонтальной плоскости проекций (хотя это необязательно). Линия, получаемая пересечением этих плоскостей, называется основанием картины. Глаз наблюдателя, или точка зрения О, находится на высоте р над плоскостью основания и на расстоянии d от картинной плоскости π. Из точки О на картинную плоскость опускается перпендикуляр, концом которого будет точка О' — проекция точки О, называемая центром перспективы. Линия, параллельная основанию картины и проходящая через точку О', находящаяся на картинной плоскости, называется линией горизонта.

Изображением любой произвольной точки D на картинной плоскости будет точка D' — точка пересечения плоскости π и линии, проведенной из точки зрения О в точку D.