Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

• Название: Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.
• Автор: Jose Santonja
• Жанр: Научпоп
• Год: 2015

Готфрид Вильгельм Лейбниц — один из самых гениальных ученых в истории науки. Он жил на рубеже XVII и XVIII веков, в эпоху больших социальных, политических и научных перемен. Его влияние распространяется практически на все области знания: физику, философию, историю, юриспруденцию... Но главный вклад Лейбница, без сомнения, был сделан в математику: кроме двоичного исчисления и одного из первых калькуляторов в истории он создал, независимо от Ньютона, самый мощный инструмент математического описания физического мира — анализ бесконечно малых.

---

Ученик Галилея, Эванджелиста Торричелли, родоначальник гидродинамики, развил динамику в своих "Беседах".

Он доказал равенство скоростей, которые тело приобретает на различных наклонных плоскостях, начинающихся на одной и той же высоте. Другой последователь Галилея, Пьер Гассенди (1592-1655), провел эксперимент, бросив камень с мачты двигающегося корабля. С точки зрения здравого смысла камень должен был упасть далеко от мачты, поскольку корабль находился в движении, но выяснилось, что он падает в одно и то же место, у ее подножия. Таким образом Гассенди доказал, что движение относительно и зависит от системы координат, в которой мы находимся. Это разрешало спор о том, почему птицы не отстают, если Земля находится в движении.

Декарт также изучал движение, которое он охарактеризовал так: "...действие, из-за которого тело перемещается из одного места в другое". Для него движение было относительным и должно было определяться исходя из его отношений с другими телами:

"Движение — это перемещение одной части материи, или тела, из соседства одних непосредственно касающихся его тел, которое мы называем состоянием покоя, в соседство других тел".

Кроме того, Декарт изучал силы, используемые для поднятия тела в пространстве, указав, что...

"Сила, которая может поднять вес 100 фунтов на высоту 2 фута, также может поднять тело в 200 фунтов на высоту в 1 фут. [...] У этой силы всегда два измерения, то есть произведение веса на высоту".

Если вместо веса использовать понятие массы, то сила, о которой говорит ученый, сегодня известна нам как потенциальная энергия. 

Из-за полного отрицания вакуума Декарт утверждал, что пространство заполнено порциями материи, взаимодействующими при столкновении, поэтому не признавал силу или действие на расстоянии. Гравитацию, например, он объяснял распространением импульсов через эфирную материю, заполнявшую пространство. Законы движения Декарта были следующие.

— Тело меняет свое движение (или состояние покоя) только из-за столкновения с другим телом.

— Тело имеет тенденцию двигаться по прямой, за исключением столкновения с другими телами.

— Когда одно тело сталкивается с другим, оно не может передать ему движение, не потеряв столько же от своего, и не может лишить его движения, не увеличив свое в той же пропорции.

Последний закон Декарт дополнял рядом правил, касающихся различных типов столкновений. Но так как он не указывал, упругие они или нет, и не учитывал направление движений, большинство из этих правил неверны.

То, что Декарт определял как количество движения — произведение массы на скорость, — представляло собой число (скалярную величину), и он утверждал, что оно постоянно. Это неверно, если не учитывать направление скорости.

С целью прояснить путаницу со столкновениями в 1668 году Королевское общество призвало своих членов изучить данную проблему. В результате был сделан вывод, что при столкновениях количество движения сохраняется только в случае, если учитывать направления скоростей, то есть если работать с векторными, а не скалярными величинами.

На призыв Королевского общества откликнулись Джон Уоллис, изучавший неупругие столкновения, Кристофер Рен, занимавшийся упругим столкновением (хотя он не подкрепил свои результаты полноценными доказательствами), и Гюйгенс. Последний изучал упругое столкновение, основываясь на понятии инерции, принципе относительности и постулате о том, что два одинаковых тела с одинаковой скоростью, сталкивающиеся напрямую, рикошетируют с одинаковой скоростью. Его исследование о столкновениях между неравными телами было опубликовано посмертно в 1700 году.

Портрет Лейбница, написанный Иоганном Фридрихом Венцелем около 1700 года. Сегодня находится в архиве Берлинско- Бранденбургской академии наук.

Могила Лейбница в Нойштедтер-Кирхе, лютеранской церкви в Ганновере. Простота надгробья одного из самых значимых ученых своего времени контрастирует с пышностью могилы другого гения той эпохи — Исаака Ньютона, похороненного в Вестминстерском аббатстве рядом с другими великими людьми.

Вид на Ганноверский университет, который с 2006 года называется Университетом Вильгельма Лейбница.

Гюйгенс открыл законы центростремительной силы — той, которая удерживает тело, движущееся вокруг центра. Он доказал, что в круговом движении центростремительная сила так относится к общей силе (m · а), как периметр (длина 2πr) к радиусу, откуда получил Fc = 2π · m v/t. И так как

t = s/v = 2πr/v,

то после замены получается формула, к которой пришел Гюйгенс:

Fc = m · v2/r 

Из приведенного выше уравнения и третьего закона Кеплера Ньютон в своем законе всемирного тяготения сделал вывод о том, что сила притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния:

F = G (m1 · m2)/d2, 

где G — постоянная всемирного тяготения.

Сила, действующая между двумя телами с массами m1 и m2 разделенными расстоянием d, прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Исаак Ньютон. Закон всемирного тяготения (1687)

Ньютон также изучал неупругие столкновения и утверждал, что необходимы внешние силы для начала или прекращения движения, которые изменили бы направление или скорость. Английский ученый рассматривал три различные силы.

— Vis insita, или сила инерции: "Это способность всех тел к сопротивлению, которую имеет каждое тело постольку, поскольку стремится сохранить свое нынешнее состояние, будь то покой или равномерное движение по прямой линии".

— Vis impressa, или приложенная сила: "Это действие, оказываемое на тело, чтобы изменить его состояние".

— Vis centripeta, или центростремительная сила: "Это сила, благодаря которой тела притягиваются, или отталкиваются, или каким-то образом стремятся к одной точке как к центру".

В качестве примеров последней силы он приводит тяготение или силу, притягивающую железо к магниту. Именно благодаря ей планеты вертятся вокруг Солнца, а не следуют по прямой линии. Эта центростремительная сила, которую Ньютон назвал в честь Гюйгенса, создает движение и в космосе. Ученый считал ее реакцией на центробежную силу.

В свою очередь Ньютон также сформулировал три закона движения.

— Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

— Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

— Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

ДИНАМИКА ЛЕЙБНИЦА

В 1669 году Лейбниц изучил работы Уоллиса, Рена и Гюйгенса о столкновениях. Затем он опубликовал свою первую работу о движении: "Новая физическая гипотеза" (1671), в которой поднял проблему непрерывного движения, утверждая, как и схоласты, что природа не развивается скачками. Лейбниц использовал термин conatus в том же значении, что и Гоббс, то есть как врожденную тенденцию продолжать движение по прямой линии. Из этого следовало, что тело, покидающее круговую траекторию, делает это по касательной к данной траектории.

Одно из моих самых важных и лучше всего проверенных изречений — то, что природа не делает скачков. Я назвал его законом непрерывности.

Лейбниц о законе непрерывности движения

В конце 1680-х годов Лейбниц написал сочинение "Динамика сил и законов природы тел". В нем он выступал против Декарта, заявляя, что количество движения не сохраняется во Вселенной. В качестве доказательства ученый приводил пример (см. рисунок), который он также включил в свое "Рассуждение о метафизике". Декарт утверждал, что должна быть применена одна и та же сила для поднятия тела весом 1 фунт на высоту 4 фута и тела массой 4 фунта — на высоту 1 фута. Следовательно, у тел А и В должна быть одна и та же сила при падении. Ученый применил закон Галилея, согласно которому скорость пропорциональна квадратному корню высоты падения. Согласно этому закону, в конце падения скорость тела А будет в два раза больше скорости тела В, но его масса в четыре раза меньше массы тела В. Следовательно, количество движения тела А будет равно половине количества движения тела В, что противоречило постулату Декарта.

Лейбниц утверждал, что постоянным является произведение массы на скорость в квадрате {mν2) — то, что он назвал vis viva, или живой силой. Эта живая сила является величиной, в два раза большей той, которую мы сегодня знаем как кинетическую энергию. Позже, в 1840 году, был сформулирован закон сохранения энергии в том виде, в каком мы знаем его сегодня. В нем говорится, что сумма потенциальной и кинетической энергии тела является постоянной. В "Динамике" Лейбниц сформулировал два своих главных закона: закон сохранения живой силы и закон непрерывности движения.