Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I
Скачивание начинается... Если скачивание не началось автоматически, пожалуйста нажмите на эту ссылку.
Жалоба
Напишите нам, и мы в срочном порядке примем меры.
Описание книги "8a. Квантовая механика I"
Описание и краткое содержание "8a. Квантовая механика I" читать бесплатно онлайн.
(Мы использовали также тот факт, что Н21=Н*12, так что H12H21 может быть записано в виде |Н12|2.) Опять в частном случае поля в направлении z это даст
откуда | H12| в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H12не может войти член с Вz. (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по Вх, Вyи Bz.)
Итак, пока мы узнали, что в Н11и H22 входят члены с Вz, а в H12 и H21 — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав
H11=-mВz,
H22=mBz
и
Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!
«Погодите,— скажете вы,— H12 по В не линейно. Из (8.21) следует, что H12=mЦ(В2x+В2y)». Не обязательно. Есть и другая возможность, которая уже линейна, а именно
Н12=m(Вx+iBy).
На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать
где d — произвольная фаза.
Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — это вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать еid=-1. Мы можем делать так же и написать
(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выборе фаз, который мы использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно, равен
уравнения для амплитуд С1 и С2 таковы:
Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных интересных задач.
§ 7. Вращающийся электрон в магнитном поле
Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями ±mBz. Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, x-компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как coswt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, w0=2mBz/h. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).
Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином 1/2. Прибор Штерна — Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.
Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом 6 и азимутальным углом j (фиг. 8.10).
Фиг. 8.10. Направление В определяется полярным углом q и азимутальным углом j.
Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С1и С2для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |y>, мы хотим написать
где C1и С2 равны
а |1> и |2>обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).
Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией ЕI=-mB. Поэтому и c1 и С2 должны изменяться как
[см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а1и а2 даются формулой (8.5):
Вдобавок a1 и а2 должны быть нормированы так, чтобы было |a|2 +|а2|2=1. Величины Н11и H12 мы можем взять из (8.22), используя равенства
Bz=Bcosq, Вх=Вsinqcosj, Ву=Вsinqsinj.
Тогда мы имеем
Кстати, скобка во втором уравнении есть просто, так что проще писать
Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -mB, находим
Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а1, и а2. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что
1-cosq=2sin2(q/2) и sinq=2sin(q/2)cos(q/2). Значит, (8.27) совпадает с
Один из ответов, следовательно, таков:
Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию
Вы знаете, что умножение a1 и а2 на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e'f'2. Принято писать так:
Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а1и а2 — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (q,j). [Амплитуды C1и С2равны просто a1 и a2, умноженным на
Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином 1/2, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином 1/2 амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна — Герлаха.
Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если | +z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы q и j, то в обозначениях гл. 3 мы имеем
Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)
Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |y>=|1>C1+|2>С2, Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>, Значит, С1и С2 меняются только по фазе. Мы знаем, что
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!
Похожие книги на "8a. Квантовая механика I"
Книги похожие на "8a. Квантовая механика I" читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Отзывы о "Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I"
Отзывы читателей о книге "8a. Квантовая механика I", комментарии и мнения людей о произведении.