Георг Гегель - НАУКА ЛОГИКИ. том 1

• Название: НАУКА ЛОГИКИ. том 1
• Автор: Георг Гегель
• Жанр: Философия

---

Число есть вообще вследствие своего принципа, одного, некое внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Так как оно, таким образом, есть лишь некое порожденное извне, то всякое исчисление есть продуцирование чисел, считание или, говоря более определенно, сосчитывание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться единственно только в различии по отношению друг к другу тех чисел, которые должны быть сосчитываемы; такое различие само должно быть заимствовано из чего-то иного и из внешнего определения.

Качественным различием, составляющим определенность числа, является то, с которым мы познакомились, а именно, различие единицы и численности; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и должны быть рассматриваемы среди определений сущности там, где трактуется о различии.

Далее, нужно предпослать еще то замечание, что числа могут в общем быть произведены двояким образом, либо через присовокупление (Zusammenfassen), либо через разъединение уже присовокупленных; поскольку этот двоякий способ произведения чисел имеет место при одинаковым образом определенном виде считания, то совокуплению чисел (это можно назвать положительным видом исчисления) соответствует некоторое определенное разъединение их (это можно назвать отрицательным видом исчисления), причем само определение вида исчисления независимо от этой противоположности.

После этих замечаний переходим к указанию видов исчисления.

1. Первым порождением числа является совокупление многих как таковых, т. е. многих, каждое из которых положено лишь как одно, – нумерация. Так как одни внешни друг другу, то они представляются под каким-нибудь чувственным образом и операция, посредством которой порождается число, есть сосчитывание по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли совокуплено столько-то одних или иное их количество, есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешня. – Различие численности и единицы, появляющееся в дальнейшем развитии видов исчисления, служит основой системы чисел – двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.

Возникшие посредством нумерации числа снова подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это – сложение. – Что 7 и 5 составляют 12, это узнают таким образом, что к 7 принумеровывают на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 одних, результат каковой операции сохраняют затем в памяти, помнят наизусть, ибо здесь нет ничего внутреннего. И точно так же узнают посредством сосчитывания на пальцах и т. д., что 7 X 5 = 35; знают это тем путем, что к одной семерке принумеровывается еще одна семерка, повторяют это пять раз, и полученный результат также запоминается наизусть. С трудом этого нумерирования, нахождения сумм, произведений навсегда покончено готовой таблицей сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.

Кант рассматривает (во Введении к «Критике чистого разума», раздел V) предложение: 7 + 5 = 12 как синтетическое предложение. «Можно было бы, – говорит он, – сначала, правда, подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, вытекающее, согласно закону противоречия, из понятия суммы пяти и семи». Понятие суммы ничего более не означает, кроме того абстрактного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятию образом, т. е. означает, что начиная; с 7 следует продолжать нумерацию до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными одни, численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. «Однако, – продолжает Кант, – при ближайшем рассмотрении мы находим, что понятие суммы 7 и 5 ничего более не содержит в себе, кроме соединения этих двух чисел в одно единственное, чем вовсе еще не мыслится, каково это единственное число, соединяющее в себе те два числа». «Сколько бы я ни расчленял свое понятие о таковой возможной сумме, я все-таки не встречу в нем двенадцати». С мышлением суммы, с расчленением понятия, переход от указанной задачи к получающемуся результату в самом деле не имеет ничего общего. «Нужно выйти за пределы этих понятий, прибегнуть к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и, таким образом, присоединить эти единицы данных в созерцании пяти к понятию семи», – прибавляет он. Пять в самом деле дано в созерцании, т. е. есть совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, одного; но 7 есть столь же мало понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чуждое понятию соединение этих двух чисел; это столь чуждое понятию нумерирование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием ровно с таким же правом, как и нумерацию, начинающую с одного, – синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет ничего такого и в нее не привходит ничего такого, что не наличествовало бы перед нами совершенно внешним образом. Требование сложить 7 с 5 относится к требованию считать вообще как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.

Таким же бессодержательным, как выражение «синтезирование», является определение, что это синтезирование совершается a priori. Правда, считание не есть определение, принадлежащее области ощущений, которые согласно кантовскому определению созерцания единственно только и остаются на долю а posteriori, и считание есть несомненно операция, совершающаяся на почве абстрактного созерцания, т. е. такого созерцания, которое определено категорией одного и при котором абстрагируются как от всяких прочих определений, принадлежащих области ощущения, так и от понятий. «А priori» есть вообще нечто лишь смутное. Определение, принадлежащее области эмоций – влечение, склонность и т. д., в такой же мере имеет в себе момент априорности, а пространство и время как существующие, т. е. временное и пространственное, определены также и a posteriori.

В связи с этим мы можем прибавить, что в утверждении Канта о синтетическом характере основоположений чистой геометрии также нет ничего основательного. Признавая, что многие из них действительно аналитичны, он в доказательство представления о синтетичности других приводит только ту аксиому, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. «А именно в моем понятии о прямой не содержится никакая величина, а содержится только качество; понятие о кратчайшем расстоянии всецело, следовательно, привходит извне, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии; здесь, следовательно, приходится брать себе в помощь созерцание единственно лишь посредством которого возможен синтез». – Но здесь дело вовсе и не идет о понятии прямого вообще, а о прямой линии, последняя же есть уже нечто пространственное, созерцаемое. Определение (или, если угодно, понятие) прямой линии ведь и состоит ни в чем другом, как в том, что она есть безоговорочно простая линия, т. е. в том, что в своем выхождении вне себя (в так называемом движении точки) она безоговорочно соотносится с особою, что в ее протяжении не положено никакой разницы определения, никакого соотношения с некоторой другой точкой или линией вне ее; она есть безоговорочно простое внутри себя направление. Эта простота есть, разумеется, ее качество, и если кажется, что трудно дать аналитическую дефиницию прямой линии, то это происходит лишь из-за определения простоты или соотношения с самой собой и только потому, что при операции определения рефлексия прежде всего имеет преимущественно в виду некую множественность, операцию определения через другое. Но само по себе нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения внутри себя, отсутствие в последнем определения через другое. Дефиниция Эвклида не содержит в себе ничего другого, кроме этой простоты. – Но переход этого качества в количественное определение (кратчайшего расстояния), который якобы составляет синтез, исключительно и всецело аналитичен. Линия как пространственная есть количество вообще; простейшим, что можно сказать об определенном количестве, является « наименьшее», а это последнее, высказанное о линии, есть « кратчайшее». Геометрия может брать эти определения как следствия из дефиниции; но Архимед в своих книгах о шаре и цилиндре (см. перев. Гаубера, стр. 4) поступил всего целесообразнее, выставив указанное определение прямой линии как аксиому; он делает это в таком же правильном смысле, в каком Эвклид поставил в числе аксиом определение, касающееся параллельных линий, так как развитие этого определения для того, чтобы оно стало дефиницией, также потребовало бы не непосредственно принадлежащих пространственности, а более абстрактных качественных определений (подобно тому как только что в применении к прямой линии потребовалось такое определение как простота), – одинаковости направления и т. п. Эти древние сообщили также и своей науке пластический характер, их изложение строго держалось своеобразия ее материи и поэтому исключало из себя все, что было бы ему гетерогенно.