Георг Гегель - НАУКА ЛОГИКИ. том 1

• Название: НАУКА ЛОГИКИ. том 1
• Автор: Георг Гегель
• Жанр: Философия

---

Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, представляют собою наиболее очищенное и ясное изложение того, что нам встретилось в вышеуказанных представлениях. Но при переходе к самим действиям у него более или менее появляются обычные представления о бесконечной малости отбрасываемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод скорее тем, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких уравнений, в которых совершается такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления, – чем самой природой вещи.

Лагранж, как известно, снова возвратился к первоначальному методу Ньютона, к методу рядов, дабы быть свободным от трудностей, которые влечет за собою представление о бесконечно-малом, равно как и метод первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить как касающееся занимающего нас вопроса лишь, то, что оно покоится на той основной теореме, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, чтобы каждый член ряда превосходил по своей величине сумму всех следующих за ним членов. – При этом методе также начинают с категорий приращения и разности (по сравнению с первоначальной функцией) той функции, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление скучного ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть отброшены, принимаются в соображение лишь с той стороны, что они составляют некоторую сумму, и основанием, почему они отбрасываются, полагается относительность их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится в общем виде к той точке зрения, которая отчасти встречается в некоторых приложениях, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; отчасти же само отбрасывание отпадает в той существенной точке зрения, которая определенно выступает относительно так называемых диференциальных коэфициентов лишь в так называемом приложении диференциального исчисления у Лагранжа, что мы разъясним подробнее в следующем примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали, трактуя о той форме величины, о которой идет речь) тому, что при этом называется бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в той категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в диференциальном исчислении рассматривалось как некоторый особого рода метод. Из соображений в суждении Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости применения и что выражение « предел» не дает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе аналитическое значение этого метода. В представлении о пределе именно и содержится вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо те их формы, которые появляются в нем, dx и dy, должны быть взяты здесь просто лишь как моменты выражения dy/ dx и само dx/ dy должно рассматриваться как единый неделимый знак. Что при этом для механизма исчисления, особенно в его приложении, утрачивается преимущество, которое он извлекает из того обстоятельства, что члены диференциального коэфициента отделяются друг от друга, – это следует здесь оставить в стороне. Этот предел должен быть теперь пределом некоторой данной функции; он должен указать известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. Но с голой категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно-малое, выступающее в диференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не-конечной, не-данной величины, как это имеет место, например, в тех случаях, когда говорится: «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к тому, что есть некоторая данная функция, еще не влияет сама по себе на трактовку этой функции и не приводит к такому употреблению указанного определения, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление предела, если этому представлению не дозволяют итти дальше такой доказанной относительно него определенности, также ни к чему не привело бы. Но выражение «предел» уже само по себе подразумевает, что он есть предел чего-то, т. е. выражает известное значение, определяемое функцией переменной величины; и мы должны посмотреть, каков характер этого конкретного оперирования им.

Он должен быть пределом отношения друг к другу тех двух приращений, на которые по сделанному допущению увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна рассматривается как функция другой; приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку о бесконечно-малом нет еще и речи. Но прежде всего путь, которым отыскивается этот предел, приводит к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если y = fx, то при переходе у в y + k fx должна переходить в fx + ph + qh2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = = ph + qh2 и т. д., и k/ h = p + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и второй член ряда кроме p, каковое p и оказывается пределом отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что h как определенное количество полагается = 0, но что вследствие этого k/ h еще не обращается вместе с тем в 0/0 , а остается некоторым отношением. И вот представление предела должно доставить ту выгоду, что оно устранит заключающуюся в этом непоследовательность; p должно вместе с тем быть не действительным отношением, которое было бы = 0/0, а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения касательно того, что собственно должно сближаться между собою, будет рассмотрен ниже. – Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть менее всякой данной величины, уже больше не есть количественное различие, это само собою ясно; это так же очевидно, как только что-нибудь может быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/ dx = 0/0. Напротив, если dy/ dx = p, т. е. принимается за некоторое определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, получается затруднение для предположения,. что h = 0, предположения, единственно путем которого и получается k/ h = p. Если же согласиться, что k/ h = 0 – и в самом деле, раз h = 0, то само собою k также делается = 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии существования приращения h, – то надо было бы спросить, что представляет собою p, которое есть некоторое совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же получается простой, сухой ответ, гласящий, что оно есть коэфициент, и нам указывают, путем какого вывода он возникает, – известным определенным образом выведенная первая производная функция некоторой первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая теория науки диференциального исчисления и непосредственно сама та одна форма, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэфициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неминуемо появляются благодаря введению этих приращений, снова устраняются; да помимо этого она очистилась бы также и от всего связанного с этим дальнейшего, от формальных категорий прежде всего бесконечного, бесконечного приближения, а затем и от дальнейших здесь столь же пустых категорий непрерывной величины* и всех еще других, которые считается нужным ввести, как например, стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет p помимо того, для теории совершенно достаточного сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. – Здесь же мы ближайшим образом дадим разбор той путаницы, которую вышеприведенное столь обычное в изложениях употребление представления о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, в котором было ближайшим образом все дело.