Георг Гегель - НАУКА ЛОГИКИ. том 1

• Название: НАУКА ЛОГИКИ. том 1
• Автор: Георг Гегель
• Жанр: Философия

---

Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого прибегнуть к бесконечно-малым должна быть рассматриваема как источник всех тех представлений, которые, имея своим назначением устранить указанные трудности, сами по себе представляют величайшую трудность. Чтобы сделать излишними эти крайние способы устранения затруднения, должна была бы иметься возможность показать, что в самом аналитическом приеме, представляющемся голым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее основу в этом приложении арифметических отношений к геометрическим фигурациям, а именно, допущение, что арифметическое умножение представляет собою также и« для геометрического определения переход в некоторое высшее измерение, что арифметическое умножение величин, являющихся по своим пространственным определениям линиями, есть вместе с тем продуцирование плоскостного определения, из линейного; трижды четыре линейных фута равно 12 линейным футам, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 плоскостных и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных величинах единица – одна и та же. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, так как умножение производится вообще над числами, т. е. над такими определениями, которые совершенно однородны с тем, во что они переходят, с произведением, и лишь изменяют свою величину. Напротив, то, что называлось бы умножением линии как таковой на линию – это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum, оно есть также ductus puncti in lineam, – есть изменение не только величины, но изменение их как качественного определения пространственности, как измерения; переход линии в плоскость должен быть понимаем, как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне себя – некоторое целое пространство. То же самое получается, когда представляют себе, что движение точки образует линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представления лишь как случайное внешнее изменение состояния; здесь же мы должны брать ту определенность понятия, которую мы выразили как выход вовне себя – качественное изменение – и которая арифметически является умножением единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). К этому можно еще прибавить то замечание, что при выходе вовне себя плоскости, что представлялось бы умножением площади на площадь, получается видимость различия между арифметическим и геометрическим произведением таким образом, что выход вовне себя плоскости, как ductus plani in planum, давал бы арифметически умножение второго измерения на второе, следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, так как оно имеет своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование настолько же формально; взятое как числовое определение 3*3, помноженное само на себя, есть 3*3*3*3; но та же величина, помноженная на себя как определение площади, удерживается на 3*3*3, так как пространство, представляемое как выход за себя, начинающийся от точки, этой лишь абстрактной границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы получить действительное значение в отношении свободного движения, в котором одна сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера – s3: t2), а другая, временная, арифметически.

В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собою ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно-малое, есть лишь множитель (в арифметике) относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Долженствующий же быть сделанным качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.

Но что якобы простое суммирование на самом деле содержит в себе умножение, следовательно, переход из линейного в плоскостное определение,. это проще всего обнаруживается в том способе, каким например показывают, что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на половину высоты. Эту высоту представляют себе лишь как численность некоторого множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими трапецию параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять площадь, но они суть линии, которые, следовательно, для того, чтобы быть чем-то плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избегнуть трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать в результате плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости), но равным образом за бесконечно-тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейном элементе (in dem Linearen) параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же самой, но не обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это последнее определенное количество называется численностью лишь совершенно относительно, лишь сравнительно с представленном о бесконечно-многих линиях; оно есть вообще определенность величины некоторого непрерывного – высоты. Ясно, что то, что называется суммой, есть вместе с тем ductus lineae in lineam, умножение линейного на линейное; согласно вышеуказанному определению – возникновение плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике вообще, каждый из множителей ab есть некоторая простая величина; но уже в дальнейшем, все еще элементарном примере трапеции лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же, напротив, определяется через прогрессию; он тоже есть некоторое линейное, но такое линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной; поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, постольку интерес к ее суммированию называется аналитическим, т. е. арифметическим; геометрическим же моментом является здесь умножение, качественный переход от линейного измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно последнему есть величина некоторого линейного.

Прием, состоящий в том, чтобы представлять площадь как сумму линий, употребляется, однако, часто и тогда, когда не имеет места с целью достижения результата умножение как таковое. Это совершается в тех случаях, когда дело идет о том, чтобы найти величину, как определенное количество, не из уравнения, а из пропорции. Известен, например, способ доказательства, что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, – способ, состоящий в том, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга, как малая ось к большой, из чего заключают, что так же относятся между собою и суммы ординат, т. е. площади. Те, которые при этом желают избегнуть представления о площади как сумме линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего искусственного приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как здесь уравнение есть лишь пропорция, то при этом сравнивается лишь один из двух линейных элементов площади. Другой элемент площади – ось абсцисс – принимается в круге и эллипсе за равный, следовательно, как множитель арифметического определения величины, за 1, и поэтому пропорция оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего момента. Для представления площади требуются два измерения; но определение величины, как оно дается в этой пропорции, касается только одного момента; поэтому та оказываемая представлению поблажка или помощь, которая: состоит в том, что к этому одному моменту присоединяется представление суммы, есть, собственно говоря, непонимание того, что здесь требуется для математической определенности.