Владимир Живетин - Введение в анализ риска

• Название: Введение в анализ риска
• Автор: Владимир Живетин
• Жанр: Математика
• Год: 2008
• ISBN: 978-5-98664-036-5, 978-5-903140-13-8

В монографии рассматриваются проблемы анализа риска, а также его количественной оценки математическими методами для ряда таких слабоструктурированных динамических систем, как технические, экономические и финансовые.

Работа может быть полезна инвесторам, конструкторам-проектировщикам, экономистам, производственникам, изучающим, с точки зрения анализа риска, проблемы проектирования, производства и эксплуатации динамических систем различного назначения, а также аспирантам и студентам, обучающимся по специальностям «Информационные системы в экономике», «Системы обработки информации и управления».

---

Соответствие между фактическими и необходимыми свойствами системы, обусловленные их устойчивостью, в процессе функционирования динамической системы может нарушаться. Наша задача состоит в сохранении на заданном уровне определенных свойств, их совокупности и отношений, повторяемости допустимых ситуаций в заданных условиях.

Идеальным решением проблемы о достижении поставленных целей было бы получение явной системы критериев, выполнение которых гарантирует как структурную, так и функциональную (динамическую) устойчивость таких систем, как «менеджер – система», «ЛА – экипаж», «ЛА – пилот». Однако такая задача в настоящее время находится в постановочной стадии.

Следует отметить, что в последние десятилетия начинают решать задачи построения и исследования моделей, в которых описываются процессы перехода медленных, постепенных, количественных изменений в коренные, качественные, в том числе структурные. К ним, в частности, относятся модели теории катастроф, математические модели синергетики или теории самоорганизации и других. Такие задачи не могут быть решены без предварительной конкретизации типа системы и ее математической модели. При этом даже для очень простых систем решение получается чрезвычайно сложным.

На этапе создания систем, как правило, используются такие математические модели, с помощью которых определяется множество возможных, допустимых и текущих состояний (параметров или свойств) динамической системы или ее подсистем, а также строится оценка соответствия текущих состояний необходимым.

Взаимодействие системы с окружающей средой заключается в том, что она, получив извне на вход что-то, после переработки что-то отдает в окружающую среду, в частности другим системам внутри или вне себя. Динамическая система может получать извне и выдавать в окружающую среду различные вещества, товар, деньги, информацию, управляющие воздействия. Так, например, завод получает на входе потоки сырья, комплектующих изделий и различных материальных средств, плановых заданий, директив вышестоящих организаций, а на выходе отдает выпускаемую им продукцию и документацию, отходы производства, передаваемые другим системам.

В математических моделях величины, определяющие внешнее воздействие на систему, называются ее входными сигналами, а величины, определяющие воздействие системы на окружающую среду и, в частности, на другие системы, называются выходными. Кроме указанных сигналов положение или состояние системы в каждый момент времени характеризуется состоянием ее подсистем, их взаимным положением и воздействием. Эти характеристики назовем параметрами системы, или переменным состоянием системы. В дальнейшем всю совокупность переменных состояний (параметров) системы будем называть вектором или пространством состояний. Входные и выходные сигналы системы как некоторые функции времени и изменения вектора состояния во времени характеризуют функционирование системы, или ее поведение.

Таким образом, математическая модель динамической системе включает в себя:

– вектор (пространство) состояний;

– совокупность входных сигналов;

– совокупность выходных сигналов;

– соотношения, связывающие входные сигналы, выходные сигналы и вектор состояний.

В дальнейшем будем рассматривать детерминированные и стохастические модели. В первом случае на входе и выходе системы имеем одну определенную реализацию, во втором – известное вероятностное распределение ее входного и выходного сигналов (параметров).

Как правило, изучаемые динамические системы относятся к классу сложных систем [8]. При этом никакая модель не может с достаточной точностью воспроизвести все функции системы. Одни модели могут быть лучше по одним показателям, другие – по другим, однако ни одна не может быть наилучшей по всем показателям. Поэтому для сложных систем строят не одну, а несколько моделей и применяют для одних целей одни модели, а для других целей – другие. При этом одни модели могут быть детерминированными, а другие – стохастическими.

Для сложных систем, таких как завод, отрасль промышленности, экономика региона, характерно то, что они состоят из большого числа более простых систем (подсистем). По этой причине управление ими невозможно без соответствующей организации внутри самой системы, без организации управления каждой отдельной подсистемой. В результате управление такой динамической системой получается иерархическим, распределенным по элементам системы, составляющим органическое целое с самой управляемой системой. Такие системы называют большими системами.

При изучении таких систем, как «человек – среда», «человек – техническая система», необходимо рассматривать их взаимосвязь и взаимовлияние; последствия взаимодействия; цели и задачи деятельности человека; прошлое, настоящее и будущее, включающее многое (так, например, себя), чего так и не постиг человек за все тысячелетия своего существования.

Полное постижение системы «человек – среда» с помощью моделей на данном этапе невозможно. Мы можем описать только малую часть этой системы. При этом будем отсекать или терять, не подозревая об их существовании, множество связей между средой и человеком (социальной системой). Как правило, мы ограничиваемся достаточно прозрачными связями, оставляя в стороне мало изученное, непонятное нам. Для того чтобы построить полную модель, требуется огромное вложение ресурсов, на которые человек не может пойти. Чем глубже мы познаем систему, тем дороже нам даются эти знания.

Как правило, надежные модели систем мы имеем при расчетном (штатном) режиме функционирования системы и не имеем их при других ее состояниях. Однако основные ошибки управления, приводящие динамические системы к катастрофам, связаны с нештатными ситуациями.

При математическом и имитационном моделировании социально-экономических процессов будем выделять следующие события и процессы:

– произведенные средой (природой), на которые человек не может влиять или которыми не может управлять; это, как правило, чрезвычайно редкие события и процессы, которые чрезвычайно трудно, часто невозможно, прогнозировать;

– являющиеся, как правило, результатом деятельности человека в окружающей среде, имеющие определенную повторяемость и достаточно четкое описание возникновения;

– обусловленные управляющими воздействиями со стороны человека в различных системах (технической, социальной, экономической, политической).

При этом будем различать события и процессы следующего вида:

– обладающие неопределенностью момента их появления и количественных характеристик (неуправляемые);

– поддающиеся статистическому описанию (как правило, тоже неуправляемые);

– случайные процессы (на выходе управляемых систем).

Отметим, что формально неопределенность отличается от определенности тем, что последняя предполагает наличие фиксированной группы условий входных сигналов – одно состояние среды, тогда как неопределенности свойственен некоторый диапазон возможных значений состояний среды, которые могут породить более, чем одно состояние входных воздействий.

Как правило, математическая модель динамической системы включает в себя систему контроля и информационно-измерительную систему. Последняя предназначена для получения количественной информации о состоянии объекта исследования, ее обработки и выдачи потребителю. Следовательно, нужно рассматривать ее как средство получения информации в неразрывной связи с объектом исследования и потребителем. С помощью информационно-измерительных систем решается задача оценивания состояния системы путем обработки результатов измерений. Оценивание осуществляется с помощью фильтров, например, Калмана, Виннера-Хопфа и других. При этом полезный сигнал Xi отделяется от помех (шумов) измерения, и в результате на выходе имеем .

В системе контроля осуществляется соответствие между текущим состоянием объекта контроля и заданным, при этом решаются следующие задачи:

– получение текущих значений контролируемых параметров xi , определяющих данное состояние объекта контроля;

– сопоставление текущего значения xi и его допустимых значений (xi)доп, которые описывают область нормального состояния объекта контроля;

– получение и выдача результатов контроля, т. е. суждения о том, каково положение вектора xi относительно (xi)доп .

Отметим, что погрешности информационно-измерительных систем оказывают существенное влияние на результат контроля, следовательно, создают предпосылки выхода параметров системы из допустимой области состояний.