Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

• Название: ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
• Автор: Даглас Хофштадтер
• Издательство: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
• Жанр: Математика
• Год: 2001
• ISBN: ISBN 5-94648-001-4

Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.

Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.

Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.

Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.

Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.

---

ω, ω ω,ω ω ω, …

объединятся в одну невероятно сложную схему ответов. Придется нам дать этой схеме совершенно новое имя — «ε0». Новое имя вводится каждый раз, когда совершается принципиально новый шаг, связанный с тем, что мы находим некую нерегулярность в системе. Таким образом, новое имя должно быть придумано ad hoc.

Не существует рекурсивного правила для называния порядковых чисел

Вы можете подумать, что эти нерегулярности в переходе от одного порядкового числа (так называются эти имена, даваемые нами бесконечности) к другому могут быть разрешены с помощью компьютера; такая программа производила бы новые имена упорядоченно. Когда у нее «кончался бы бензин», она включала бы «центр нерегулярности», производящий новое имя и затем переключающий программу обратно на регулярный контроль. Но эта идея не работает. Дело в том, что сами нерегулярности возникают нерегулярно, и нам понадобилась бы программа высшего порядка — то есть программа, создающая новые программы, дающие новые имена. И даже этого оказывается недостаточно. В какой-то момент становится необходимой программа третьего порядка — и так далее, и тому подобное.

Вся это невероятная сложность берет начало в теореме, которой мы обязаны Алонзо Черчу и Стефену Клини. Эта теорема о структуре «бесконечных порядковых чисел» утверждает, что:

Не существует такой рекурсивно согласованной системы обозначений, которая давала бы имя каждому конструктивному порядковому числу.

Нам придется оставить обсуждение того, что такое «рекурсивно родственные системы нотации» и «конструктивные порядковые числа», более техническим трудам, таким, например, как книга Хартлея Роджерса (Hartley Rodgers, см. Библиографию). Здесь мы удовольствуемся интуитивной идеей. По мере того, как порядковые числа возрастают, в них появляются нерегулярности, и нерегулярности в этих нерегулярностях, и нерегулярности в нерегулярностях нерегулярностей и так далее. Не существует такой единой схемы, которая могла бы назвать все порядковые числа. Из этого следует, что не существует такого алгоритмического метода, который мог бы сказать нам, как приложить метод Гёделя к любой возможной формальной системе. Если не ударяться в мистику, то приходится согласиться с тем, что любое человеческое существо рано или поздно достигнет предела своей способности Геделизировать. С этого момента формальные системы такой сложности, хотя и неполные из-за возможности приложения к ним Гёделева метода, сравняются по мощи с человеческим разумом.

Другие возражения Лукасу

Это только один способ спорить с Лукасом. Существуют другие, возможно, более убедительные, аргументы против его идей, которые мы рассмотрим позже Но этот последний контраргумент очень важен поскольку он касается интереснейшей идеи создания компьютерной программы, способной выйти за пределы самой себя, увидеть себя полностью со стороны и применить трюк Геделя к самой себе. Разумеется, это так же невозможно, как невозможно для патефона воспроизвести собственную разбивальную мелодию. Однако мы не должны считать ТТЧ ущербной по этой причине Дефект, если он и есть, заключается не в самой системе, а в наших ожиданиях того, на что эта система окажется способна. Кроме того необходимо помнить, что и мы сами бессильны против словесного трюка который Гедель перевел в математическую форму—я имею в виду парадокс Эпименида. Это было весьма хитроумно подмечено Ч. Г. Уайтли, когда он предложил высказывание «Лукас не может непротиворечиво утверждать это высказывание» Подумав, вы поймете, что (1) это верно, и все же (2) Лукас не может этого утверждать непротиворечиво. Значит, Лукас также «неполон» по отношению к существующим в мире истинам. То, как мир отражен в его мозгу, не позволяет ему одновременно быть непротиворечивым и утверждать истинное высказывание. Но Лукас подвержен этому не более, чем любой из нас. Он, как и все мы, просто находится на уровне сложной формальной системы.

Забавный способ увидеть ошибку доводов Лукаса — это сравнить их со спором мужчин и женщин. В своих странствованиях Лукус Мыслитель однажды находит неизвестный предмет — женщину. Не будучи ранее знаком с подобным явлением, вначале он застывает в восхищении перед сходством объекта с ним самим, но затем, немного испуганный, он кричит всем мужчинам кругом: «Постойте! Я могу смотреть ей в лицо — а это нечто, на что она сама не способна. Значит, женщины никогда не могут быть подобны мне!» Так он доказывает превосходство мужчин над женщинами, к глубочайшему удовлетворению как собственной персоны, так и своих товарищей-мужчин. (Тот же довод доказывает и превосходство Лукуса над всеми остальными мужчинами — факт, о котором он тактично умалчивает) Женщина отвечает: «Да, вы можете смотреть мне в лицо, чего я сделать не могу — но я могу смотреть вам в лицо, на что вы не способны. Мы равны!» На что Лукус находит неожиданный ответ: «Мне очень жаль, но если вы считаете, что можете видеть мое лицо, вы ошибаетесь. То, что вы, женщины, делаете — совсем не то же самое, что делаем мы, мужчины. Как я уже сказал, это явление низшего разряда и не заслуживает называться тем же именем Это можно назвать „женовидением“. Тот факт что вы можете „женовидеть“ мое лицо совершенно не важен, поскольку ситуация несимметрична. Теперь вы видите разницу?» «Да, теперь я женовижу» — женоотвечает женщина и женоудаляется.

Этот аргумент напоминает страуса, засунувшего голову в песок — но он вам понадобится, если вы настаиваете на том, что мужчины и женщины будут всегда опережать компьютеры по части интеллекта.

Выход из себя самого — современный миф

Интересно поразмыслить над тем можем ли мы, люди, выйти за пределы самих себя — и могут ли это сделать компьютерные программы Разумеется, программа может модифицировать себя — но возможность всякой модификации должна быть заложена в программе с самого начала, так что это не может служить примером «выхода из системы». Как бы программа не вертелась и не извивалась, чтобы вырваться за свои пределы, она все же следует заложенным в ней правилам. Она так же не может выйти за пределы самой себя, как человек не может по желанию перестать следовать законам физики. Физика — это система, выхода из которой не существует. Однако возможно осуществить нечто подобное в меньшем масштабе — а именно, выйти из подсистемы собственного мозга в более широкую подсистему. Иногда удается сойти с наезженной колеи. Это все еще объясняется взаимодействием различных подсистем мозга, но на вид это весьма похоже на полный выход из себя. Подобно этому, можно представить, что нам удастся создать программу, умеющую частично «вылезать из своей шкуры».

Однако важно не упускать из вида разницы между восприятием самого себя и выходом из самого себя. Воспринимать себя вы можете различными способами: в зеркале, на фотографиях, в фильмах, на пленке, по описаниям других, по результатам психоанализа и так далее. Но вы не можете выйти из собственной кожи и встать снаружи себя самого (несмотря на утверждения современных оккультистов). ТТЧ может говорить о себе, но она не может выйти из себя. Компьютерная программа может модифицировать себя, но она не может нарушить своих собственных инструкций — большее, на что она способна, это изменить себя частично, следуя тем же инструкциям. Это напоминает юмористический парадоксальный вопрос: «Может ли Бог создать такой тяжелый камень, который он сам не способен будет поднять?»

Реклама и обрамляющие приспособления

Идея выйти за пределы системы очень заманчива и лежит в основе прогресса в искусстве, музыке и других областях человеческой деятельности. Она также лежит в основе таких тривиальных вещей, как создание радио- и телевизионных реклам. Эта тенденция была тонко подмечена и замечательно описана в книге Эрвинга Гоффмана (Erving Goffman, «Frame Analysis»):

Например, профессиональный актер заканчивает сниматься в рекламе, где он пил некий напиток, и, в то время как камера еще снимает его, с видимым облегчением поворачивается и берет стакан того же напитка, чтобы теперь по-настоящему им насладиться.

Разумеется, это всего лишь один из примеров того, как рекламные объявления, передающиеся по радио и телевидению, используют «обрамляющие» трюки, чтобы создать у слушателя и зрителя впечатление естественности, которое, как надеются рекламщики, пересилит то недоверие, которое люди обычно чувствуют к рекламе. Поэтому в рекламе часто используются детские голоса, предположительно естественные, уличный шум и другие эффекты, чтобы создать иллюзию интервью со случайными людьми; актеры специально говорят с паузами, перебивают друг друга, и всячески симулируют естественный разговор. Рекламное объявление фирмы прерывается сообщением о ее новом продукте или какой-либо новостью — таким образом авторы рекламы надеются убедить зрителя в том, что это вовсе не реклама.