Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• Название: Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
• Автор: Владимир Дьяконов
• Жанр: Математика
• Год: 2006
• ISBN: 5-98003-258-4

Книга является справочником и руководством пользователя по новейшим системам символьной (аналитической) математики — Maple 9.5 и Maple 10. Это признанные мировые лидеры в области аналитических вычислений, прошедшие серьезную сертификацию в этой области. Кратко описан интерфейс систем и подробно их обширные возможности в математике, физике и образовании. Особое внимание уделено технике практических вычислений и визуализации их результатов, а также решению дифференциальных уравнений различного типа. Описаны средства символьных и численных вычислений, графические и программные возможности систем, пакеты их расширения, маплеты и практика применения Maple в математических и физических расчетах. Прилагаемый CD-ROM содержит более 340 файлов с примерами вычислений. Для научно-технических работников, студентов и преподавателей университетов и вузов.

---

> convert(12345,binary);

11000000111001

> convert(%,decimal,binary);

12345

> convert(12345,octal);

30071

> convert(123456,hex);

1E240

> convert(%,decimal,hex);

123456

Помимо приведенных вариантов функция convert имеет еще ряд других форм. С ними можно познакомиться с помощью справки по этой мощной функции. В дальнейшем будет приведен ряд других применений этой функции.

2.1.9. Пакет RealDomain для вычислений с действительными данными

В целом ряде случаев работа вычислителей Maple по умолчанию в области комплексных значений данных нежелательна, поскольку приводит к представлению результатов также в комплексном виде:

> restart:simplify(sqrt(х^2)); ln(-2); solve(х^3-8=0,x);

csgn(x) x ln(2)+ π I 2, -1+√3I, -1-√3I

В связи с этим в Maple введен новый математический пакет расширения RealDomain, переводящий вычисления в область реальных значений данных. Вызов пакета обеспечивается следующим образом:

> restart:with(RealDomain);

[ℑ, ℜ, ^, arccos, arccosh, arccot, arccoth, arccsc, arccsch, arcsec, arcsech, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, eval, exp, expand, limit, ln, log, sec, sech, signum, simplify, sin, sinh, solve, sqrt, surd, tan, tanh]

Нетрудно заметить, что этот пакет переопределяет элементарные функции и некоторые другие вычислительные функции таким образом, что вычисления с ними ведутся только с реальными (вещественными, действительными) числами. Это видно из представленных ниже примеров:

> simplify(sqrt(х^2));

|x|

> ln(-2);

undefined

> solve(х^3-8=0,х);

2

Следует отметить, что вычисляемые выражения при работе с данным пакетом надо размещать после его загрузки.

2.1.10. Модификация графической функции plot

В старых версиях Maple функция plot нередко отказывалась строить графики функций, значения которых были комплексными числами. Но уже в Maple 8 алгоритм построения графиков переработан. Теперь, если выражение, по которому строится график, в ходе оценивания дает мнимую часть, она отбрасывается, так что строится график только действительной части выражения. Малые по модулю мнимые части также нередко отбрасываются — впрочем, когда именно не совсем ясно.

Рис. 2.4 дает примеры этого. В верхней части документа строятся графики функции квадратного корня от х, логарифма и синуса. Нетрудно заметить, что для квадратного корня и логарифма строится и впрямь только та часть графиков, где значения функций действительны — при х положительном. Для х< 0 строится только график функции синуса, поскольку синус дает вещественные значения при любом x — как положительном, так и отрицательном.

Рис. 2.4. Особые случаи применения функции plot

Еще более интересен случай, представленный снизу рис. 2.4. Здесь функция задана как решение выражения f, которое дает корни в виде комплексных выражений. Несмотря на это возможные части графика функции f(x) строятся.

2.2. Сложные типы данных

Сложными являются такие типы данных, которые являются представлением множественных и подчас разнохарактерных объектов. Нередко такие данные включают как часть себя рассмотренные выше простые типы данных.

2.2.1. Создание наборов (множеств)

В системе Maple любые выражения могут включаться в наборы, относящиеся к множественным данным. Такие наборы в виде множеств создаются с помощью фигурных скобок { }:

> {a,b,a,a,b,d,e,c,d};

{a, b, с, е, d}

> {10,2+3,4+4,8,5,1};

{1, 5, 8, 10}

> {`Hello` ,`my`,`friend`};

{friend, Hello, my}

Отличительная черта множеств — автоматическое устранение из них повторяющихся по значению элементов. Кроме того, Maple расставляет элементы множеств в определенном порядке — числа в порядке увеличения значения, а символы и строки в алфавитном порядке. Для множеств нет строгого математического определения, и мы будем считать их наборами, удовлетворяющими перечисленным выше признакам.

2.2.2. Создание и применение списков выражений

Для создания упорядоченных наборов — списков — служат квадратные скобки []:

> [10,2+3,4+4,8,5,1];

[10, 5, 8, 8, 5, 1]

> [а, b, c, a, a, d, d, e] ;

[a, b, с, a, a, d, d, e]

Как нетрудно заметить, элементы списков преобразуются и выводятся строго в том порядке, в каком они были заданы. Списки широко применяются для задания векторов и матриц.

В ряде случаев, например, при подготовке данных для двумерных графиков, возникает необходимость в подготовке парных списков — скажем, координат точек (х, у) графика. Для этого можно использовать функцию zip(f, u, v) или zip(f, u, v, d). Здесь f — бинарная функция, u, v — списки или векторы, d — необязательное значение.

Примеры применения функции zip даны на рис. 2.5. Там же показано применение этих средств для построения точек, представляющих множество действительных чисел на плоскости. Для этого использована функция pointplot из пакета plots.

Рис. 2.5. Представление множества чисел на плоскости

2.2.3. Создание массивов, векторов и матриц

Важным типом данных являются списки или листы. В Maple 9.5 они создаются с помощью квадратных скобок, например:

[1,2,3,4] — список из четырех целых чисел;

[1,2.34,5] — список из двух вещественных и одного целого числа;

[a,b, "Привет"] — список из двух символов (переменных) и строковой константы;

[sin(x), 2*cos(x),a^2-b] — список из трех математических выражений.

Для создания векторов (одномерных массивов) и матриц (двумерных массивов) служит функция array. Обычно она используется в следующих формах:

array[a..b,s1] — возвращает вектор с индексами от а до b и значениями в одномерном списке s1;

array[a..b,c..d,s2] — возвращает матрицу с номерами строк от а до b, номерами столбцов от с до d и значениями в двумерном списке s2.

Примеры задания вектора и матрицы представлены ниже:

array(1..3,[х,у,х+у]) — создает вектор с элементами x, у и х+y;

array(1..2,1..2,[[a,b],[c,d]]) — квадратная матрица

Для создания векторов может использоваться также конструктор векторов Vector[o](d, init, ro, sh, st, dt, f, а, о) с рядом опционально заданных параметров. В этой книге эта конструкция практически не используется. Векторы и матрицы можно также задавать с помощью угловых скобок:

> V:=<a,b,с>;

> Vector[row]([a,b,с]);

[a, b, c]

> Vector[row](<a, b, c>);

[a, b, c]

> M:=<<a,b,c>|<d,e,f>>;

Имеется множество функций для работы со списками, массивами и матрицами. Они будут рассмотрены в дальнейшем. В принципе, размерность массивов, создаваемых списками, не ограничена, и массивы могут быть многомерными.

2.2.4. Работа с построителем матриц Matrix Builder Maple 9.5

Для интерактивного задания матриц и векторов в Maple 9.5 введен ассистент Matrix Builder. При его применении открывается окно, показанное на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Окно ввода матриц и векторов ассистента Matrix Builder Maple 9.5

В окне с помощью списков можно задать размер матрицы (или вектора, если один из размеров задан равным 1), определить рабочую область ввода с помощью кнопки Display и вводить значения элементов матрицы с помощью имеющегося шаблона. По завершении ввода всех элементов достаточно закрыть окно и созданная матрица появится в документе.

2.2.5. Работа с построителем матриц Matrix Builder Maple 10

В Maple 10 построитель матриц Matrix Builder немного усовершенствован. В нем есть два окна просмотра созданной матрицы — одно для обычного вида матрицы, а другое в виде системы линейных уравнений (рис. 2.7) в котором последний столбец расширенной матрицы представляет столбец свободных членов.

Рис. 2.7. Окно ввода матриц и векторов ассистента Matrix Builder Maple 10

Следует, однако, отметить, что по завершении ввода в строку ввода документа, из которого вызван построитель матрицы, вводится расширенная матрица, а не система линейных уравнений. Ее обработка возлагается уже на пользователя.

2.2.6. Ассистент импорта данных Import Data в Maple 10

В Maple 10 есть и более мощное средство ввода — ассистент импорта данных Import Data. Он позволяет вводить данные (в том числе матрицы рисунков) из файлов множества форматов. При обращении к нему из подменю Assistants позиции Tools меню открываются вначале два окна. Верхнее окно (рис. 2.8) служит для выбора файла с данными.

Рис. 2.8. Окно выбора файлов с данными