Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• Название: Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
• Автор: Владимир Дьяконов
• Жанр: Математика
• Год: 2006
• ISBN: 5-98003-258-4

Книга является справочником и руководством пользователя по новейшим системам символьной (аналитической) математики — Maple 9.5 и Maple 10. Это признанные мировые лидеры в области аналитических вычислений, прошедшие серьезную сертификацию в этой области. Кратко описан интерфейс систем и подробно их обширные возможности в математике, физике и образовании. Особое внимание уделено технике практических вычислений и визуализации их результатов, а также решению дифференциальных уравнений различного типа. Описаны средства символьных и численных вычислений, графические и программные возможности систем, пакеты их расширения, маплеты и практика применения Maple в математических и физических расчетах. Прилагаемый CD-ROM содержит более 340 файлов с примерами вычислений. Для научно-технических работников, студентов и преподавателей университетов и вузов.

---

Рис. 2.8. Окно выбора файлов с данными

Обратите внимание на обширный список возможных типов файлов внизу этого окна. Он включает в себя аудио и видео-файлы, файлы рисунков различного формата и другие типы файлов, представляемые которыми файлы могут быть представлены в векторной или матричной форме. Это является показателям того, что число типов матричных и векторных данных в Maple 10 резко расширено и систему можно использовать для обработки таких данных, как звуки и изображения.

Для примера на рис. 2.8 выбран файл электронной фотографии, на которой автор вручает свою книгу по Интернету Вице-Президенту корпорации Intel Шону Мелони. После загрузки файла открывается второе (основное) окно ассистента импорта данных. Оно показано на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Окно ассистента импорта данных системы Maple 10

В этом окне дана исчерпывающая информация об источнике и типе данных — в нашем случае это файл формата JPG, который представляется комплектом из трех матриц, дающих относительные интенсивности (от 0 до 1) трех цветов — красного, зеленого и синего (система RGB). Кнопка OK вводит в текущую строку ввода Maple 10 матричный объект, представляющий импортируемые данные.

2.2.7. Просмотр импортируемых в Maple 10 данных

Активизируя кнопку предварительного просмотра Preview можно вывести окно просмотра, показанное на рис. 2.10 при открытой вкладке Table (Таблица). В левом верхнем углу окна документа на рис. 2.10 виден матричный объект, представляющий импортированные в Maple 10 данные. Нетрудно заметить, что он задан тремя массивами (матрицами) с индексацией элементов строк от 1 до 480 и столбцов от 1 до 640. Как уже отмечалось это три массива RGB-представления цветного рисунка. Нетрудно заметить также, что каждый элемент массива представлен числом в формате чисел с плавающей точкой. Линейки прокрутки позволяют просмотреть весь набор чисел каждого массива.

Рис. 2.10. Окно предварительного просмотра данных с открытой вкладкой Table

Вкладка Image (Изображение) позволяет просмотреть массивы в виде рисунков — см. рис. 2.11. Тут почти все понятно, но стоит обратить внимание на список Color Map (Цветовая Карта). С его помощью можно задать отображение изображения в формате Greyscale (черно-белое изображение с оттенками серого цвета) или изображение интенсивности каждой из составляющих цветного изображения. С вкладкой Options, позволяющей изменить опции данных, читатель может познакомиться самостоятельно.

Рис. 2.11. Окно предварительного просмотра данных с открытой вкладкой Image

Активизируя кнопку Insert можно вставить изображение в документ Maple. Это показано на рис. 2.12. При этом изображение можно растягивать или сжимать в различных направлениях.

Рис. 2.12 Пример вставки в документ Maple 10 изображения

Следует отметить, что в Maple 10 появился новый графический объект — наброски (Sketch). Подробно работа с ними описана в главе 8.

2.2.8. Создание Maple-таблиц и их применение

Еще одним важным типом множественных данных являются таблицы. Они задают данные с произвольной индексацией. Для создания таблиц служит функция table, которая при вызове в простейшем виде table[] создает шаблон пустой таблицы:

> table[];

table[ ]

Пустая таблица резервирует память под данные. Когда параметром функции table является список выражений, он выводится в естественном порядке расположения элементов таблицы, но с произвольным порядком индексации:

> Т:=table ({1,2,Pi, `string`});

T: = table([1 = 1, 2 = 2, 3 = π, 4 = string])

> Т [3] ;

π

> S:=table([(one)=1,(two)=2,(three)=3]);

S := table([one = 1, three = 3, two = 2])

> S [1];

S1

> S[two];

2

> S[three];

3

> entries(S);

[1], [3], [2]

> indices(S);

[one], [three], [two]

В конце приведенных примеров показано, как можно выделить отдельные компоненты таблицы и вывести значения и индексы таблицы с помощью функций entries и indices. Следующие примеры показывают, что таблицу можно использовать для выполнения математических преобразований:

> F := table([sin=cos, cos=-sin]): op(op(F));

[cos = -sin, sin = cos]

> F[cos] (Pi/2);

-1

> F[sin] (0);

1

> evalf(cos(Pi/2));

0.

> evalf(sin(0));

0.

Следует внимательно присмотреться к этим примерам — они демонстрируют замену функции косинуса на синус со знаком «—» и синуса на косинус.

2.2.9. Пакет ListTool для работы со списками

Для работы со списками имеется пакет расширения ListTool. Его вызов и состав новых определений — функций представлены ниже:

> with(ListTools);

Warning, the assigned name Group now has a global binding

Binary Place, Binary Search, Categorize, Dot Product, Enumerate, Find Repetitions, Flatten, Flatten Once, Group, Interleave, Join, JoinSequence, MakeUnique, Pad, PartialSums, Reverse, Rotate, Sorted, Split, Transpose

Применительно к задачам данной книги применение этого пакета ограничено. Поэтому ограничимся несколькими примерами его применения (файл listtools):

> myList := [seq( ithprime (i) , i=1..20 )];

myList := [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]

> BinarySearch(myList, 61, `<`);

18

> Reverse (myList);

[71, 67, 61, 59, 53, 47, 43, 41, 37, 31, 29, 23, 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2]

> FindRepetitions(rnyList);

[ ]

> FindRepetitions([1, 2, 3,1, 5, 3]);

[1,3]

> L := [0., .84, .91, .14, -.76, -.96, -.28, .66, .99, .41, -.54];

L := 10., .84, .91, .14, -.76, -.96, -.28, .66, .99, .41, -.54]

> M := [1., .54, -.42, -.99, -.65, .28, .96, .75, -.15, -.91, -.84];

M := [1., .54, -.42, -.99, -.65, .28, .96, .75, -.15, -.91, -.84]

> DotProduct(L, L);

5.0063

> DotProduct(L, M);

.3162

Нетрудно заметить, что применение этих функций (как и ряда других) достаточно очевидно.

2.2.10. Структура разбросанных полиномов ряда переменных SDMPolynom

В Maple 9.5 введена новая структура данных — разбросанные полиномы ряда переменных — SDMPolynom (Sparse Distributed Multivariate Polynom). Примеры применения новой структуры:

А: =SDMPоlynоm(х³ - 2 х² - 2 х + 4, [х])

B:=SDMPolynom(х*у^2+х^2*у^3 + (2 + I)у + 1, [х, у])

Из этих примеров форма задания таких полиномиальных структур очевидна. С ними можно проводить различные операции — вычислять степень по каждой переменной, выполнять арифметические операции и т.д.

2.3. Применение констант

2.3.1. Символьные и числовые константы

Константы — это простейшие именованные объекты, несущие заранее предопределенные значения. Их имена (идентификаторы) также заранее определены и не могут меняться. Подробную информацию о константах можно найти, исполнив команду ?constant. Константы могут быть символьными, т. е. представленными только своим символьным именем.

Обычные числовые константы не имеют имени и представлены просто числами, типы которых были указаны выше. Можно считать, что именем такой константы является само ее значение. Например, в выражении 2*sin(1.25) числа 2 и 1.25 являются числовыми константами. При этом указание десятичной точки делает константу действительным числом — например, 2 — это целочисленная константа, а 2., 2.0 или 1.25 — это уже действительные константы.

2.3.2. Строковые константы

Строковыми константами являются произвольные цепочки символов, заключенные в обратные апострофы, например, `Hello`, `Привет`, `My number` и т.д. Числа, заключенные в апострофы, например `123456`, также становятся строковыми константами, которые нельзя использовать в арифметических выражениях. Строковые константы представляют значения строковых переменных. В них можно использовать символы кириллицы, при условии, что соответствующие шрифт имеется.

2.3.3. Встроенные в ядро Maple константы

Есть также ряд констант, которые правильнее считать заведомо определенными глобальными переменными (файл const):

> constants;

false, γ, ∞, true, Catalan, FAIL, π

Ниже указано их назначение:

false — логическое значение «ложно»;

γ или gamma — константа Эйлера, равная 0.5772156649…;

∞ или infinity — положительная бесконечность (отрицательная задается как -infinity);

true — логическое значение «истинно»;

Catalan — константа Каталана, равная 0.915965594…;

FAIL — специальная константа (см. справку, выдаваемую по команде ?FAIL);

I — мнимая единица (квадратный корень из -1);

π или Pi — представляет константу π=3.141…. .

Любопытно, что в этот список не входит основание натурального логарифма — число е. В качестве этой константы рекомендуется использовать ехр(1). Она отображается как жирная прямая буква Е. А ехр(1.0) выводит 2.71828… (что и следовало ожидать). В список не вошел и ряд других констант, например: NULL — пустая часть последовательностей, Order — порядок многочлена, Printlevel — уровень вывода сообщений и др.