Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга

• Название: Как же называется эта книга
• Автор: Рэймонд Смаллиан
• Жанр: Прочая детская литература

Книга американского профессора Р. Смаллиана, написанная в увлекательной форме, продолжает серию книг по занимательной математике и представляет собой популярное введение в некоторые проблемы математической логики. Сюда входят более 200 новых головоломок, созданных необычайно изобретательным автором. Задачи перемежаются математическими шутками, анекдотами из повседневной жизни и неожиданными парадоксами. Завершает книгу замечательная серия беллетризованных задач, которые вводят читателя в самую суть теоремы Курта Гёделя о неполноте, - одного из замечательнейших результатов математической логики 20 века.

Можно сказать - вероятно, самый увлекательный сборник задач по логике. Около трехсот задач различной сложности сгруппированы по разделам, герои которых Рыцари и Лжецы, Алиса в Стране Чудес, Беллини и Челлини и даже сам граф Дракула! Если человек произносит "Я лгу" - говорит ли он неправду? Почему физики и математики по-разному решают задачи? Как вовремя распознать упыря? Ответы на эти и более серьезные вопросы Вы найдете в этом сборнике, а может быть, и ответ на вопрос "Как же называется эта книга?". Для всех, кто хочет научиться рассуждать.

---

Иное дело-истории о предках Порции N-й: если бы портрет или кинжал не оказался бы там, где его рассчитывал найти претендент на руку прапрапра... бабушки Порции N-й, то это означало бы (как мы вскоре увидим), что где-то "по дороге" прапрапра... бабушка допустила ложное высказывание.

Происшествие с поклонником Порции N-й можно рассматривать и с иной точки зрения. Его ошибка заключается в том, что каждое из высказываний, выгравированных на крышках шкатулок, он считал либо истинным, либо ложным. Разберемся более подробно, как происходило первое испытание-с двумя шкатулками. На крышке золотой шкатулки было выгравировано:

"Портрет не в этой шкатулке". Это высказывание заведомо либо истинно, либо ложно, так как портрет либо находится в золотой шкатулке, либо его там нет. В действительности оно оказалось истинным, так как Порция положила портрет в серебряную шкатулку. Вот теперь мы приступаем к самому важному. Известно, что Порция положила портрет в серебряную шкатулку. Что можно сказать о высказывании, выгравированном на крышке этой шкатулки? Истинно оно или ложно? Оно не может быть ни истинным, ни ложным, ибо в противном случае мы пришли бы к противоречию! Действительно, предположим, что это высказывание было бы истинным. Тогда истинно ровно одно высказывание, а так как первое высказывание (выгравированное на крышке золотой шкатулки) истинно, то второе высказывание ложно. Таким образом, если бы высказывание, помещенное на крышке серебряной шкатулки, было истинным, то оно... было бы ложным! С другой стороны, предположим, что высказывание, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно. Тогда первое высказывание истинно, второе ложно. Следовательно, истинно ровно одно высказывание. Но именно это и утверждается во втором высказывании, которое по предположению ложно. Значит, оно должно быть истинным! Таким образом, оба предположения (и о том, что второе высказывание истинно, и о том, что второе высказывание ложно) приводят к противоречию.

Весьма поучительно сравнить это испытание со вторым испытанием, предложенным Порцией III (которой также хватило двух шкатулок). Надпись на золотой шкатулке в том испытании совпадала с надписью на золотой шкатулке в испытании, устроенном Порцией N-й, и гласила: "Портрет не в этой шкатулке". Но надпись на серебряной шкатулке была иной (старая надпись гласила: "Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини", новая сообщала, что "Ровно одно из двух высказываний, выгравированных на крышках, истинно"). У читателя может возникнуть вопрос о том, существенно ли различие между этими двумя высказываниями, если известно, что Беллини гравировал на крышках шкатулок только истинные, а Челлини - только ложные высказывания.

Различие, хотя и довольно тонкое, все же существует.

Высказывание "Ровно одна из этих шкатулок изготовлена Беллини" - это высказывание, которое должно быть либо истинным, либо ложным, некое историческое утверждение о реальном мире. Беллини либо изготовил ровно одну из двух шкатулок, либо не изготовил. Предположим, что в истории о Порции III портрет оказался бы не в золотой, а в серебряной шкатулке. Какой вывод вы сделали бы из этого? Стали бы считать, что надпись, выгравированная на серебряной шкатулке, ни истинна, ни ложна? Такой вывод был бы неверен!

Я уже говорил о том, что надпись на серебряной шкатулке представляет собой высказывание, которое может быть либо истинным, либо ложным. Поэтому правильным был бы иной вывод: если бы портрет был обнаружен в серебряной шкатулке, то Порция III, утверждая о Беллини и Челлини то, что она утверждала, лгала бы. В отличие от своей прапрапра... бабушки Порция N-я могла бы, не прибегая ко лжи, поместить свой портрет в серебряную шкатулку, так как она ничего не сказала о значении истинности высказываний, выгравированных на крышках шкатулок.

Вопрос о значениях истинности высказываний, определяемых в зависимости от их содержательной интерпретации, относится к одному из наиболее тонких и фундаментальных разделов современной логики. В последующих главах мы еще неоднократно вернемся к нему.

VI. Из записок инспектора Крэга

А. ИЗ ЗАПИСОК ИНСПЕКТОРА КРЭГА

Инспектор Лесли Крэг из Скотланд-Ярда любезно согласился предоставить мне записки о некоторых распутанных им делах, с тем чтобы я мог поведать о них для пользы и в назидание тем, кто интересуется применением логики к раскрытию уголовных преступлений.

71.

Начнем с простого дела. На складе было совершено крупное хищение. Преступник (или преступники) вывез награбленное на автомашине. Подозрение пало на трех преступников-рецидивистов A, B и C, которые были доставлены в Скотланд-Ярд для допроса. Было установлено следующее:

1) Никто, кроме A, B и C, не был замешан в хищении.

2) C никогда не ходит на дело без A (и, возможно, других соучастников).

3) B не умеет водить машину.

Виновен или не виновен A?

72.

Другое, также несложное дело о хищении. Подозреваемые A, B и C были вызваны для допроса. Установлено следующее:

1) Никто, кроме A, B и C, в хищении не замешан.

2) A никогда не идет на дело без по крайней мере одного соучастника.

3) C не виновен.

Виновен или не виновен B?

73. Дело о двух неразличимых близнецах.

Это дело поинтереснее предыдущих. В Лондоне совершено ограбление. Трое подозреваемых - рецидивисты A, B и C - вызваны на допрос. Подозреваемые A и B - близнецы и похожи друг на друга настолько, что мало кто умеет отличать одного из них от другого. В картотеке Скотланд-Ярда имеются подробные сведения о всех троих, в том числе об их характере, наклонностях и привычках. В частности, известно, что оба близнеца по характеру робки, и ни один из них не отваживается идти на дело без соучастника. Подозреваемый B отличается большой дерзостью и терпеть не может ходить на дело с соучастником. Кроме того, несколько свидетелей показали, что во время ограбления одного из близнецов видели в баре в Дувре, но установить, о ком из двух близнецов шла речь, не удалось.

Предположим, что в ограблении не был замешан никто, кроме A, B и C. Кто из них виновен и кто не виновен?

74.

"Какие выводы вы сделали бы из следующих фактов?" - спросил инспектор Крэг у сержанта Макферсона:

1) Если A виновен и B невиновен, то C виновен.

2) C никогда не действует в одиночку.

3) A никогда не ходит на дело вместе с C.

4) Никто, кроме A, B и C, в преступлении не замешан, и по крайней мере один из этой тройки виновен.

Сержант поскреб в затылке и сказал:

- Боюсь, что я смогу извлечь из этих фактов не слишком много, сэр. А вы можете, опираясь на них, доказать, кто из трех подозреваемых виновен и кто не виновен?

- Не могу, - признался Крэг, - но чтобы выдвинуть неопровержимое обвинение против одного из них, материала вполне достаточно.

Чья виновность не вызывает сомнений?

75. Дело об ограблении лавки Макгрегора.

Мистер Макгрегор, владелец лавки из Лондона, сообщил по телефону в Скотланд-Ярд о том, что его ограбили. Трех преступников-рецидивистов A, B и C, подозреваемых в ограблении, вызвали на допрос. Установлено следующее:

1) Каждый из тройки подозреваемых A, B и C в день ограбления побывал в лавке, и никто больше в тот день в лавку не заходил.

2) Если A виновен, то у него был ровно один сообщник.

3) Если B не виновен, то C также не виновен.

4) Если виновны ровно двое подозреваемых, то A - один из них.

5) Если C не виновен, то B также не виновен.

Против кого инспектор Крэг выдвинул обвинение?

76. Дело четырех.

На этот раз на допрос были вызваны четверо подозреваемых в ограблении: A, B, C и D. Неопровержимыми уликами доказано, что по крайней мере один из них виновен и что никто, кроме A, B, C и D, в ограблении не участвовал. Кроме того, удалось установить следующее:

1) A безусловно не виновен.

2) Если B виновен, то у него был ровно один соучастник.

3) Если C виновен, то у него было ровно два соучастника.

Инспектору Крэгу было особенно важно узнать, виновен или не виновен D, так как D был опасным преступником. К счастью, приведенных выше фактов достаточно, чтобы установить виновность или невиновность подозреваемого D.

Итак, виновен или не виновен D?

Б. НЕ МОГЛИ БЫ ВЫ ПОМОЧЬ?

Инспектора Крэга нередко можно видеть в зале суда, где он с неослабным вниманием следит за всеми перипетиями судебного разбирательства. Крэг интересуется не только теми делами, в расследовании которых он принимал участие. Слушание любого дела служит для него своеобразным упражнением по логике: выслушав доводы сторон, инспектор стремится при помощи логических рассуждений установить истину. Вот несколько любопытных казусов, свидетелем которых ему пришлось быть в зале судебных заседаний.

77. Глупый защитник.

Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее: