Сэм Лойд - Самые знаменитые головоломки мира

• Название: Самые знаменитые головоломки мира
• Автор: Сэм Лойд
• Издательство: ООО «Фирма «Издательство ACT»
• Жанр: Детская образовательная литература
• Год: 1999
• ISBN: 5-237-02034-8

Сборник математических задач и увлекательных головоломок, принадлежащий перу одного из классиков этого жанра Сэма Лойда, несомненно доставит большое удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

236. Телль выбивает 100 очков, попав дважды в 11 и 6 раз в 13. Тень столбика от сетки у ноги Телля равна половине высоты столбика. Тень столба имеет в длину 35 ярдов, так что сам столб должен быть высотой в 70 ярдов, или 210 футов.

237. [У С. Лойда нет ответа на эту трудную задачу. Лучший способ поскорее закончить путешествие, согласующийся с подходом к аналогичным задачам Генри Э. Дьюдени, по-видимому, следующий.

Самый медленный пешеход С всю дорогу едет на тандеме. Вместе с А, самым быстрым пешеходом, он проезжает 31,04 мили, пока В идет пешком. Затем А слезает с велосипеда, а С возвращается, подбирает В в месте, расположенном в 5,63 мили от старта. Оставшуюся часть пути В и С проезжают на тандеме, прибывая в конечный пункт одновременно с А. Общее время путешествия составит чуть менее 2,3 часа.

Задачу можно решить алгебраическим путем, обозначив через х расстояние, пройденное 2? а через у расстояние, пройденное А. Приравнивая время, за которое В проходит х, ко времени, за которое велосипед доезжает до места высадки А и возвращается к В, мы получим одно уравнение, Второе уравнение удается получить, приравнивая время, за которое А проходит у, ко времени, за которое велосипед проделывает остальную часть путешествия. Мы решаем эти два уравнения, а остальное уже очевидно. – М. Г.]

238. У третьего треугольника катеты равны 30 и 224, а гипотенуза – 226. [Не существует ограничений на число различных прямоугольных треугольников со сторонами, выраженными целыми числами, обладающих равной площадью. Относительно простого способа, позволяющего получить такие треугольники, см. задачу 107 из книги Генри Э. Дьюдени «Кентерберийские головоломки» (М.: Мир, 1979). – M. Г.]

239. На воскресной распродаже миссис Барджейн купила 10 тарелок по 13 центов за штуку. Она обменяла их в понедельник утром на 18 блюдец по 3 цента каждое и 8 чашек по 12 центов за штуку – всего на сумму 1,5 доллара (она вернула 10 тарелок по 15 центов). В воскресенье на свои 1,3 доллара она могла бы купить 13 чашек по 10 центов.

240. Молочник начал с 5 1/2 галлонов воды в бидоне А и 2 1/2, галлонов молока в бидоне В. В конце его операций в бидоне А оказалось 3 галлона воды и 1 галлон молока, а в бидоне В – 2 1/2 галлона воды и 1 1/2 галлона молока.

[Лойд не объясняет, как он получил эти числа, но задачу можно решить следующим образом. Пусть х – исходное количество жидкости в бидоне А, а у – в бидоне В. Легко определить алгебраически, что х относится к у, как 11 к 5, но мы еще не знаем, отношение ли это воды к молоку или молока к воде. Допустим последнее и начнем наши операции по переливанию с 11 единиц молока и 5 единиц воды. В конце мы получим 3 единицы воды и 5 молока в бидоне В, но это противоречит условию, согласно которому в итоге в бидоне В воды на 1 галлон больше, чем молока. Отсюда следует, что было 11 единиц воды и 5 единиц молока. В результате тех же операций мы получим 3 единицы молока и 5 воды в бидоне В. Поскольку количество воды превосходит количество молока на 1 галлон, 5 единиц минус 3 единицы должно равняться 1 галлону, то есть наша единица равна 1/2 галлона. Тогда 11 единиц воды составят 5 1/2 галлонов, а 5 единиц молока – 2 1/2 галлонов. – М. Г.]

241. Расстояние между станциями составляет 200 миль.

[Это решение легко получить алгебраическим путем, обозначив через х расстояние, пройденное за первый час, а через у – оставшееся расстояние. Нормальная скорость поезда в милях в час будет равна х, замедленная скорость окажется равной Зх/5, а нормальное время пути составит (х + у)/х.

Эти данные позволяют составить следующие два уравнения:

Отсюда

Вычитая из первого уравнения второе, мы находим, что х = 50, у = 150, так что суммарное расстояние составляет 200 миль. – М. Г.]

242. Ответ, содержащий 4 части, показан на рисунке.

243. Четырех девочек звали Энн Джонс, Мэй Робинсон, Джейн Смит и Кэт Браун.

244. У каждого из мальчиков было по 100 шариков.

245. Лавочник составил свою смесь из 30 фунтов 5-битового чая и 10 фунтов чая по 3 бита.

246. Боссу теперь 84 года.

247. На левом рисунке показано, как можно расположить 9 яиц, чтобы получилось 10 рядов по 3 яйца в каждом. На правом рисунке видно, как можно вычеркнуть 9 яиц ломаной из четырех отрезков.

[Вторая задача представляет собой классическую геометрическую головоломку, психологи нередко используют ее в качестве примера того, каким образом разум стремится наложить ненужные ограничения на способы решения задач. – М. Г.]

248. Расположив жерди в форме правильного 12-угольника, мы получим максимальную площадь, немного превышающую 2866 квадратных футов.

249. Автомобиль прошел за первый час 71 3/8 мили, за второй час – 63 5/8 мили, за третий час – 55 7/8 мили и за четвертый час – 48 1/8 мили. Разность между любыми двумя последовательными расстояниями составляет 7 3/4 мили.

[Задачу можно решить, обозначив через х число миль, пройденных в последний час, а через х + у – число миль, пройденных за третий час. Тогда за второй час автомобиль прошел х + 2у миль, а за первый час – (х + 3у) миль. Теперь мы получаем два линейных уравнения:

2х+5у = 135,

2х + у = 104,

откуда и находим ответ. – M. Г.]

250.

251. [Пусть время, за которое Мод проделала милю, равно 1/х Тогда время Дженни будет равно 1/2,5х, и мы сможем составить следующее уравнение:

1/x – 1/2,5x = 6

Отсюда х = 0,1, так что Дженни затратила 4 мин, а Мод – 10 мин. – М. Г.]

252. [С. Лойд не приводит ответа к этой задаче, но ее легко решить алгебраически. Пусть х – расстояние от лагеря полярников до невесты, у – время пути туда и z – время обратного пути. Тогда мы знаем, что х/у = 5, x/z = 3 и y + z = 7. Из этих уравнений мы находим, что в оба конца путешественник проделал 26 1/4 мили. – М. Г.]

253. [Падая с высоты в 20 футов, тело развивает в конце пути скорость 35,777 фута в секунду (квадрат скорости падающего тела равен удвоенному произведению ускорения на высоту). Тело в 30 фунтов, падая с такой высоты, разовьет, следовательно, кинетическую энергию, равную 1073,31. Суммарная масса козлов составляет 111 фунтов. Значит, для того чтобы развить «черепо-ломное» количество движения 1073,31, они должны двигаться с относительной скоростью не меньшей 9,669 фута в секунду. – M. Г.]

254. Сторож, жена, младенец и собака должны спасаться следующим образом:

1) спустить младенца,

2) спустить собаку, поднять младенца,

3) спустить сторожа, поднять собаку,

4) спустить младенца,

5) спустить собаку, поднять младенца,

6) спустить младенца,

7) спустить жену, поднять всех остальных,

8) спустить младенца,

9) спустить собаку, поднять младенца,

10) спустить младенца,

11) спустить сторожа, поднять собаку,

12) спустить собаку, поднять младенца,

13) спустить младенца.

[Это упрощенный вариант одной задачи, предложенной Льюисом Кэрроллом. – М. Г.]

255. Орел закончит путешествие за 39 своих полетов от восхода до заката (таких, какими они видны орлу). Но за это время Земля повернется 39 1/2 раз, так что в Вашингтоне между отлетом и возвращением орла пройдет 39 1/2 суток.

256. На печати царя Соломона можно обнаружить 31 равносторонний треугольник.

257. Диаметр круговой дорожки не влияет на ответ. В момент встречи заяц прошел 1/6 дистанции, а черепаха – 17/24. Следовательно, черепаха двигалась в 17/4 раза быстрее зайца. Зайцу предстоит пройти теперь 5/6 дистанции по сравнению с 1/6 для черепахи, так что он должен бежать в 5 раз быстрее, чем черепаха, то есть в 85/4 раза быстрее, чем раньше.

258. Ответ показан на рисунке.

259. На рисунке показано, каким образом можно соединить В и А, истратив 233 дюйма провода.

260. [С. Лойд приводит лишь ответы на обе части задачи, но не объясняет их получения.

Первую часть можно решить следующим образом. Пусть длина колонны и время, за которое армия проходит эту длину, равно 1. Скорость движения армии также будет равна 1. Пусть далее х – расстояние, которое проезжает курьер в обе стороны, а также его скорость. На пути в голову колонны его скорость относительно колонны будет равна х – 1. На обратном пути его относительная скорость будет равна х + 1. По отношению к колонне на пути туда и обратно всадник должен преодолеть расстояние, равное 1, и весь этот путь совершается за время, равное 1. Поэтому мы можем составить следующее уравнение: 1/ (x-1) + 1/(x+1) = 1 которое легко преобразовать к виду х2 – х = 0.