Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

С другой стороны, можно задаться вопросом об общем правдоподобии предположения II. Рассмотрим, что повлечет за собой существование познаваемой процедуры F, непознаваемым образом эквивалентной человеческому математическому пониманию (заведомо непогрешимому). Как уже отмечалось, ничто не мешает нам мысленно перенестись в некое будущее время, в котором эта процедура окажется обнаружена и подробно описана. Известно также (см. §2.7), что формальная система задается в виде некоторого набора аксиом и правил действия. Теоремы системы F представляют собой утверждения (иначе называемые «положениями»), выводимые из аксиом с помощью правил действия, причем все теоремы можно сформулировать посредством того же набора символов, который используется для выражения аксиом. А теперь представим себе, что теоремы системы F в точности совпадают с теми положениями (сформулированными с помощью упомянутых символов), неопровержимую истинность которых математики, в принципе, способны самостоятельно установить.

Допустим на минуту, что перечень аксиом системы F является конечным. Сами же аксиомы суть не что иное, как частные случаи соответствующих теорем. Однако неопровержимую истинность каждой теоремы мы можем, в принципе, постичь посредством математического понимания и интуиции. Следовательно, каждая аксиома в отдельности должна выражать нечто такое, что (по крайней мере, в принципе) постижимо посредством этого самого математического понимания. Иными словами, для каждой отдельной аксиомы когда-нибудь непременно настанет (либо принципиально возможно, что настанет) время, когда ее неопровержимая истинность будет однозначно установлена. Так, рассматривая одну за другой, мы сможем устанавливать истинность любой отдельно взятой аксиомы системы F. Таким образом, в конечном итоге будет установлена (либо принципиально возможно, что будет установлена) неопровержимая истинность всех отдельно взятых аксиом. Соответственно, настанет время, когда будет установлена неопровержимая истинность всей совокупности аксиом системы F в целом.

А как быть с правилами действия? Можем ли мы предположить, что настанет время, когда будет однозначно установлена неопровержимая обоснованность этих правил? Во многих формальных системах правилами действия служат достаточно простые утверждения, каждое из которых с очевидностью «неопровержимо», например: «Если установлено, что высказывание P является теоремой и высказывание P ⇒ Q является теоремой, то можно заключить, что высказывание Q также является теоремой» (относительно символа ⇒ «следует» см. НРК, с. 393, или [223]). Признать неоспоримую справедливость таких правил совсем не трудно. С другой стороны, среди правил действия встречаются и гораздо более тонкие отношения, справедливость которых вовсе не так очевидна; прежде чем прийти к однозначному решению относительно того, считать то или иное такое правило «неопровержимо обоснованным» или нет. нам, возможно, потребуется прибегнуть к весьма подробному и тщательному анализу. Более того, как мы вскоре убедимся, в наборе правил действия формальной системы F неизбежно имеются такие правила, неоспоримая обоснованность которых не может быть достоверно установлена ни одним математиком — причем мы все еще полагаем, что число аксиом в системе F конечно.

В чем же причина? Перенесемся в воображении в то самое время, когда уже однозначно установлена неопровержимая справедливость всех аксиом формальной системы F. Перед нами открывается замечательная возможность без помех рассмотреть всю систему F целиком. Попробуем допустить, что все правила действия системы F можно также считать справедливыми безо всяких оговорок. Хотя предполагается, что мы еще не можем знать наверняка, что система F действительно включает в себя всю математику, которая в принципе доступна человеческому пониманию и интуиции, мы должны к настоящему моменту уже убедиться в том, что система F является, по меньшей мере, неоспоримо обоснованной, поскольку справедливость как ее аксиом, так и ее правил действия безоговорочно нами принимается. Следовательно, мы также должны уже быть уверены в том, что система F непротиворечива. Не забываем, разумеется, и о том, что, в силу этой непротиворечивости, утверждение G(F) также должно быть истинным — более того, неопровержимо истинным! Однако, поскольку предполагается, что система F фактически (хотя нам об этом неизвестно) включает в себя всю совокупность того, что безоговорочно доступно нашему пониманию, утверждение G(F) должно на деле представлять собой теорему системы F. Согласно теореме Гёделя, такое, вообще говоря, возможно только в том случае, если формальная система F противоречива. Если же система F противоречива, то одной из теорем этой системы является утверждение «1 = 2». Следовательно, утверждение «1 = 2» должно быть, в принципе, доступно нашему математическому пониманию — очевидное противоречие!

Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму возможность того, что математики действуют (не зная о том) в рамках системы F, которая является, по существу, необоснованной. К этому вопросу я еще вернусь в §3.4, пока же (в пределах данного раздела) будем полагать, что на самом деле процедуры, лежащие в основе математического понимания, целиком и полностью обоснованны. Приданных обстоятельствах, если мы продолжаем настаивать на том, что все правила действия нашей формальной системы F с конечным набором аксиом безоговорочно истинны, нам остается лишь признать, что противоречие действительно имеет место. Следовательно, среди правил действия системы F должно быть по крайней мере одно правило, обоснованность которого не может неопровержимо установить ни один математик (хотя в действительности это правило является обоснованным).

Все вышеприведенные рассуждения опирались на то допущение, что система F задается конечным набором аксиом. В качестве возможного альтернативного решения можно предположить, что количество аксиом в системе F бесконечно. Относительно этой возможности необходимо сделать некоторые комментарии. Для того чтобы систему F можно было определить как формальную в требуемом смысле — т.е. как систему, в рамках которой всегда можно однозначно установить (посредством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры), что предполагаемое доказательство того или иного положения действительно является доказательством в соответствии с правилами системы, — необходимо, чтобы ее бесконечный набор аксиом можно было выразить каким-то конечно определяемым образом. Вообще говоря, всегда допускается некоторая свобода в отношении выбора конкретного способа представления формальной системы, в соответствии с которым операции системы определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так, стандартная аксиоматическая система теории множеств — система Цермело—Френкеля (обозначаемая здесь как ZF) — включает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых посредством структур, называемых «схемами аксиом». Путем соответствующего переформулирования систему ZF можно выразить таким образом, что количество действительных аксиом станет конечным{40}. Более того, действуя определенным образом, такое можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «формальной» в требуемом нами вычислительном смысле[20].

Может создаться впечатление, что вышеприведенное рассуждение (целью которого является исключение из списка возможных вариантов случая II) применимо к любой (обоснованной) системе F, вне зависимости от того, конечно или бесконечно количество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы можем ввести новые правила действия, которые могут оказаться не столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в  соответствии с вышеизложенными соображениями, времена, когда нам станут известны все аксиомы и правила действия системы F (при этом также предполагается, что все теоремы этой гипотетической системы в точности совпадают с теоремами, которые в принципе доступны человеческим пониманию и интуиции), мы никоим образом не можем быть уверены в принципиальной возможности неопровержимого установления обоснованности правил действия такой системы F, в отличие от ее аксиом (даже если эти правила действительно являются обоснованными). Дело в том, что, в отличие от аксиом, правила действия не принадлежат к теоремам формальной системы. Мы же полагаем, что неопровержимо установить можно лишь обоснованность теорем системы F.