Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

• Название: Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре
• Автор: Олег Арсенов
• Издательство: Эксмо
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 2013
• ISBN: 978-5-699-44145-7

Имя питерского математика Григория Перельмана не сходит с новостных полос. Еще бы — открытие сделал, а положенный миллион все не берет. За обсуждением денег и странностей математика как-то совсем не замеченным остался вопрос: «Так что же открыл такого великого Перельман, что это вызвало такую шумиху и столь высоко было оценено мировой общественностью?» А открытие его действительно значимо: доказана гипотеза Пуанкаре (сейчас это теорема Пуанкаре-Перельмана), справиться с которой лучшие умы не могли более 100 лет. Из этой теоремы вытекает масса удивительных выводов в космологии, квантовой механике, философии и даже религии.  

---

-42-

порождение человеческого разума, без которого никакая наука невозможна, все же он столь же мало был бы независим от природы наших ощущений, как одежда от формы человеческого тела».

Альберт Эйнштейн. Сущность теории относительности

Вместе с тем можно смело предположить: внутренне Эйнштейн был глубоко убежден в том, что «интеллектуальные продукты человеческого разума» и, в частности, математика во многом определяются окружающей физической реальностью. Как видно, подходы Пуанкаре и Эйнштейна к постижению действительности внешнего Мира существенно отличаются. То, что Эйнштейн понимает как относительное, но объективное, Пуанкаре понимает как чисто субъективное, условное (конвенциональное). Различие в позициях Пуанкаре и Эйнштейна и его возможные философские корни подробно исследованы историками науки. Так, профессор Тяпкин размышлял:

«История завершающего периода создания специальной теории осложнена лишь различием в оценках значения известных параллельных работ и проистекающим отсюда недостаточным вниманием к альтернативным подходам. В этих расхождениях проявились прежде всего объективные трудности понимания теоретических построений — в одном случае, и постижения логики размышления — в другом случае. Но, к сожалению, здесь присутствовала и необъективность оценок работ, вызванная тенденциозным выделением работы, первой получившей широкое признание. Конечно, в историческом анализе не следует впадать в крайности и нужно трезво оценивать как значение первых, но весьма еще нечетких формулировок новой физической теории (Лармор, Лоренц), так и преимущества возникших несколько позднее изложений той же теории (Эйнштейн, Пуанкаре, Минковский). Тогда при объективном рассмотрении нетрудно будет установить, что эта теория, как и квантовая механика, создана рядом выдающихся ученых начала XX века».

Рассмотренный этюд из истории становления теории относительности предлагает нам еще один фрагмент головоломки, который, будучи сложенным вместе с конвенционализмом Пуанкаре, дает все основания считать, что в преддверии эпохи

-43-

релятивизма ученый открыл еще нечто совершенно необычное. Поскольку истории неизвестны иные основополагающие концепции Пуанкаре, то открытие явно относилось к области своеобразной математической метафизики. Это нечто не только в значительной степени отвлекло внимание ученого от «мира световых скоростей», но и заставило в очередной раз обратиться к фундаментальному обоснованию математической науки.

Моррис Клайн подчеркивал, что поскольку математика — творение человека и с ее помощью мы открываем совершенно новые физические явления, люди создают отдельные части окружающего их Мира: тяготение, электромагнитные волны, кванты энергии и т. д. Разумеется, математик работает не в пустоте, а руководствуется данными чувственного опыта и эксперимента Существует некий субстрат физического факта, но даже там, где налицо какая-то физическая реальность, совершенная организация, полнота, уточнение и понимание достаются только с помощью математики.

Наше знание зависит от человеческого разума ничуть не меньше (если не больше), чем от реальностей окружающего мира. Разум влияет даже на чувственное восприятие. Восприятие дерева без сознания его «древесности» лишено смысла. Набор чувственных восприятий сам по себе лишен смысла. Люди с их разумом составляют часть реальности. Наука более не противопоставляет природу как объект исследования и человека как субъекта, занимающегося ее описанием. Объект и наблюдатель неразделимы.

Граница между математическим и эмпирическим знанием не абсолютна. Мы непрестанно вносим коррективы в наши наблюдения и в то же время видоизменяем наши теории так, чтобы они соответствовали новым наблюдениям и экспериментальным результатам. Цель усилий, предпринимаемых как в развитии теории, так и в совершенствовании эксперимента, — всестороннее и непротиворечивое описание физического мира. Математика служит своего рода посредником между человеком и природой, между внутренним миром человека и окружающим его внешним миром.

Так мы приходим к бесспорному и неопровержимому выводу: математика и физическая реальность нераздельны. Ма-

-44-

тематика — поскольку она говорит нам о составляющих физического мира и поскольку наше знание этого мира может быть выражено только в математических понятиях — столь же реальна, как столы и стулья. Границы нашего знания реальности существуют, но они постепенно расширяются.

Вполне возможно, что человек, введя некоторые ограничения и даже искусственные понятия, только таким способом сумел «навести порядок» в природе. Созданная им математика может оказаться не более чем рабочей схемой. Не исключено, что природа в действительности устроена гораздо сложнее и в ее основе нет никакого «плана». Но и тогда математика как метод исследования, описания и познания природы не знает себе равных. В некоторых областях ею исчерпывается все, что мы знаем. Если она и не есть сама реальность, то по крайней мере подходит к таковой ближе, чем любая другая область человеческой деятельности.

Какое влияние оказала философия конвенционализма на формулировку и последующий анализ физико-математических исследований Пуанкаре и как это связано с его релятивистскими воззрениями?

Рис. 17. Континуальные представления Пуанкаре неевклидова пространства-времени

Пуанкаре в своих работах подчеркивал, что видимая нами реальность представляет собой лишь проекцию внешнего мира на четырехмерный пространственно-временной континуум.

-45-

Тут есть два взаимодополняющих взгляда. Во-первых, поскольку ученый всегда «примерял» как метафизик свои математические изыскания к реальной структуре Мироздания, в самой формулировке тех же топологических задач видится некий идеологический подтекст. Привнося новый принцип геометрической эволюции реальности, Пуанкаре в очередной раз демонстрировал перспективную, по его мнению, возможность самых различных интерпретаций своих топологических построений, рассматривая научную теорию как некую чисто логическую структуру, относительно которой теряет смысл само понятие истинности.

Во-вторых, связывая вместе метафизическое содержание открытых им принципов релятивизма, ученый допускал, что понятия теории относительности вполне могут быть абстрагированы от своей реальной почвы и войти в аппарат описания динамической эволюции топологии Вселенной.

-46-

Гл. 3 Гипотеза Пуанкаре

«Математика — не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. Математические "истины" зависят от людей ничуть не меньше, чем восприятие цвета или язык».

Людвиг Виттенштейн

Рис. 18. Топологическое многообразие Пуанкаре

Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.

«С того момента, как гипотеза Пуанкаре была сформулирована более ста лет назад, сообщения о ее доказательстве появлялись почти ежегодно. Анри Пуанкаре, двоюродный брат Раймонда

-47-

Пуанкаре, президента Франции во время Первой мировой войны, был также одним из талантливейших математиков девятнадцатого века. Худой, близорукий, известный своей невероятной рассеянностью, Пуанкаре сформулировал знаменитую задачу за восемь лет до своей смерти, в 1904 году. Формулировка проблемы в качестве побочного вопроса была засунута в конец шестидесятипятистраничной статьи.

Пуанкаре не смог добиться сколько-нибудь заметного прогресса в решении этой проблемы. "Cette question nous entrainerait trop loin" ("Этот вопрос уводит нас далеко в сторону"), — писал он. Пуанкаре был основателем топологии — науки, также называемой "геометрией резинового листа" из-за ее ориентации на исследование внутренних свойств различных пространств».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

Страсть великого французского ученого к построению фундаментальных основ математической науки и его релятивизм, отраженный в зеркале собственного философского учения — конвенционализма, привели в итоге к довольно необычной гипотезе строения Мира. В истории науки эту абстрактную математическую проблему, приводящую к важнейшим космологическим выводам, так часто и называют — топологическая гипотеза (теорема, задача, проблема) Пуанкаре.