Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

• Название: Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика
• Автор: Рауль Ибаньес
• Издательство: ООО «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014

Современный человек пользуется картами практически ежедневно: карты украшают стены школ, они помогают нам ориентироваться на местности, находить кратчайший путь из одного пункта в другой, изучать историю, географию, экономику и ряд других наук.

Карты — важный рабочий инструмент для некоторых специалистов: моряков, летчиков, машинистов, топографов и проч. Но много ли мы знаем о том, как создаются карты? Для чего существует такое количество разнообразных карт и насколько все они точны?

Прочитав эту книгу, вы узнаете множество новых и любопытных фактов о геометрии карт.

---

Карта, выполненная в проекции plate саrréе. Эта проекция — частный случай равнопрямоугольной проекции, в которой стандартной параллелью является экватор.

Азимутальная равнопромежуточная проекция

Это четвертая классическая азимутальная проекция. В отличие от трех вышеупомянутых она не является геометрической. Как и в других азимутальных проекциях, геодезические линии, то есть большие круги, проходящие через точку касания сферы и плоскости, изображаются на плоскости прямыми, проходящими через центр карты, при этом угол между геодезическими линиями сохраняется. Эта проекция обладает частным свойством: ее масштаб не изменяется вдоль прямых, проходящих через центр карты (это стандартные линии равнопромежуточной проекции). Иными словами, в этой проекции сохраняются расстояния от любых точек до центра карты. Кроме того, азимутальная равнопромежуточная проекция позволяет представить на одной карте поверхность всего земного шара, однако при выходе за пределы большого круга — границы полушария, проходящей через точку касания сферы и плоскости, — искажения становятся очень велики. Эта карта имеет одну особую точку, которая становится «центром мира». Все расстояния до этой точки сохраняются.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в Северном полюсе. Справа — флаг ООН.

В полярной разновидности этой проекции меридианы изображаются прямыми, исходящими из центра карты — проекции точки касания. Параллели изображаются в виде концентрических окружностей, равноудаленных друг от друга. Карта, выполненная в проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом, прекрасно нам знакома — ее можно увидеть на флаге и эмблеме Организации Объединенных Наций (ООН). Вместо Антарктиды на флаге ООН изображена оливковая ветвь. Так как построение полярной азимутальной равнопромежуточной проекции очень просто, логично предположить, что эта проекция использовалась с древности. Считается, что древние египтяне с ее помощью строили карты звездного неба, однако древнейшая из известных нам карт, выполненных в этой проекции, была изготовлена Конрадом де Диффенбахом в 1426 году. При составлении карты Земли первым эту проекцию применил Меркатор в своей знаменитой карте мира 1569 года. На ней были изображены два круга с изображениями приполярных областей. Позднее эта проекция использовалась для решения самых разных задач: она широко применяется при составлении карт отдельных полушарий и всей земной поверхности, также ее можно встретить во множестве атласов приполярных зон, изданных в последние два столетия. В этой проекции строятся карты приполярных областей, помещаемые рядом с картами мира, выполненными в других проекциях, как, например, на картах в проекции Ван дер Гринтена, выпускаемых Национальным географическим обществом, или в картах Геологической службы США.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции, с центром в Кабуле — столице Афганистана.

Так как построить косую и экваториальную разновидности этой проекции сложно, до XIX века они не рассматривались. Косая азимутальная равнопромежуточная проекция используется для составления карт континентов и карт мира с центрами в крупных городах, в отличие от экваториальной разновидности этой проекции — возможно, потому что экватор не проходит через какие-либо «важные», по мнению составителей карт, города или страны.

Эта проекция представляет большой интерес в ситуациях, когда необходимо рассмотреть расстояния или кратчайшие пути из данной точки. Например, карту в этой проекции может использовать командующий военной базы, чтобы определить, какие города попадают в зону поражения ракет, капитан корабля или самолета — чтобы определить фиксированный курс из порта или аэропорта отправления до различных частей света или, совместно с картами в проекции Меркатора (о них мы поговорим в главе 9), для прокладки курса между двумя точками. Эта проекция используется не только в навигации, но и при изучении землетрясений. Применяют ее и радисты, работающие с направленными антеннами, для определения направлений сигнала.

Коническая равнопромежуточная проекция

Как и в любой другой прямой конической проекции, полученная карта имеет форму сектора кольца, в котором меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, и разделены интервалами с одинаковыми угловыми размерами. Параллели изображаются дугами концентрических окружностей, пересекающими меридианы под прямым углом, при этом они обладают дополнительным свойством, вносимым равнопромежуточной проекцией: параллели равноудалены друг от друга, поэтому масштаб будет неизменным вдоль всех меридианов, которые, таким образом, будут стандартными кривыми этой проекции. Эта проекция не является ни конформной, ни равновеликой и не сохраняет формы.

Как и другие конические проекции, она подходит для изображения регионов с умеренным климатом. Если линия касания конуса и сферической модели Земли проходит вдоль параллели, проекция будет удобной для изображения стран и территорий, расположенных вблизи этой параллели. Для составления карт протяженных регионов, например России, Европы или Северной Америки, удобнее использовать разновидность этой проекции с двумя стандартными параллелями, проходящими по изображаемой территории.

В первой карте Птолемея использована проекция, напоминающая коническую равнопромежуточную. С севера карта Птолемея обрезана вдоль параллели легендарного острова Туле, с юга — вдоль экватора.

Глава 9 Проекция Меркатора

На сокращенной карте [карте Меркатора] румбы, или локсодромы, изображены прямыми, что относится к числу ее преимуществ. […] Кажется не слишком выгодным следовать обходным путем вдоль локсодром или больших кривых, если можно прийти в ту же точку, следуя более коротким путем. Существуют веские причины не отказываться от больших локсодром и от использования компаса, так как они не имеют недостатков…

Томас Лопес «Географические принципы в приложении к использованию карт» (1783)

Карта мира в проекции Меркатора, несомненно, знакома многим из нас (по крайней мере, людям определенного возраста) лучше всех остальных карт. Можно сказать, что на протяжении почти четырех веков это название было нарицательным. В эпоху далеких путешествий и великих географических открытий, в XVI веке, мореплавателям и торговцам требовалась карта, которую можно было бы использовать для навигации. Такую карту создал фламандский ученый и картограф Герард Меркатор.

Созданная им проекция остается самой удобной и популярной до сих пор, недаром она легла в основу системы UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора). Эту систему используют почти все международные агентства при составлении карт большого масштаба, то есть карт участков небольшой протяженности.

Определение и картографические свойства

Средневековые карты, не имевшие научной основы и составленные без использования математических проекций, были абсолютно бесполезны в навигации и не могли применяться для каких-либо измерений. Их использование нередко вело к тому, что корабли очень сильно отклонялись от курса и даже заплывали на совершенно неизвестные территории.

* * *

ГЕРАРД МЕРКАТОР (1512–1594)

Герард Меркатор был выдающимся человеком. Он занимался как практическими дисциплинами (его можно назвать картографом, географом, каллиграфом, гравером, изготовителем измерительных инструментов и редактором), так и теоретическими науками (Меркатор проявлял интерес к математике, астрономии, космографии, изучению земного магнетизма, истории, философии и богословию). В числе разработанных им карт выделяются карта Палестины 1537 года, очевидно, созданная по причинам религиозного характера, его первая карта мира, выполненная в проекции в форме двойного сердца (автором этой проекции был Оронций Финеус), карта Европы 1554 года, выполненная в проекции Вернера, карта Меркатора 1569 года, а также глобус, датируемый 1541 годом, — самый подробный глобус того времени. Последним проектом Меркатора стала работа над картой мира, состоящей из отдельных карт разных регионов. Меркатор опубликовал первую часть своего атласа (он первым использовал термин «атлас» для обозначения собрания карт «…в честь титана Атласа, царя Мавритании, большого философа, математика и астронома») в 1585 году. В сборник вошла 51 карта. Основное внимание уделялось картам Германии, Франции и Нидерландов. В следующий том, изданный в 1589 году, Меркатор добавил 23 карты Италии и Греции. Его сын Румольд опубликовал «Атлас Меркатора» в 1595 году, добавив в него еще 28 карт различных частей Европы. В атласе Меркатора использовались самые разные картографические проекции: конические, стереографическая, проекция Сансона — Флемстида, проекции Вернера, Меркатора и многие другие.