Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

• Название: Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика
• Автор: Рауль Ибаньес
• Издательство: ООО «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014

Современный человек пользуется картами практически ежедневно: карты украшают стены школ, они помогают нам ориентироваться на местности, находить кратчайший путь из одного пункта в другой, изучать историю, географию, экономику и ряд других наук.

Карты — важный рабочий инструмент для некоторых специалистов: моряков, летчиков, машинистов, топографов и проч. Но много ли мы знаем о том, как создаются карты? Для чего существует такое количество разнообразных карт и насколько все они точны?

Прочитав эту книгу, вы узнаете множество новых и любопытных фактов о геометрии карт.

---

Наконец, укажем, что проекция Меркатора используется при построении карт мира в некоторых современных интернет-проектах, в частности «Картах Google» и Virtual Earth. Пользователь этих интерактивных карт может просматривать увеличенное изображение малых областей, которые отображаются практически без искажений. Причина в том, что проекция Меркатора является конформной, то есть на локальном уровне, для небольших областей, вносимые ею искажения невелики.

Поперечная проекция Меркатора

Если мы повернем цилиндр, на который проецируется сфера, на 90° так, что линией касания будет меридиан, то получим поперечную проекцию Меркатора с центром на этом меридиане. Эта проекция также будет конформной и не будет вносить больших искажений в областях, близких к касательному меридиану. Поперечная проекция очень удобна для изображения участков Земли, протяженных с юга на север, например Американского континента или Индии.

Эту картографическую проекцию впервые описал Ламберт в 1772 году. Позднее, в 1822 году, эллипсоидную разновидность этой проекции изучили Карл Фридрих Гаусс и математик и топограф Луис Крюгер (1857–1923), поэтому она также называется проекцией Гаусса — Крюгера. Она обладает следующими свойствами.

1. Меридианы, параллели и, в общем случае, локсодромы изображаются кривыми линиями.

2. Проекция конформна: она сохраняет углы и формы на локальном уровне.

3. Искажения в областях, близких к центральному меридиану, очень малы (вдоль центрального меридиана искажения отсутствуют) и постепенно растут по мере удаления от него.

Карта Америки, выполненная в поперечной проекции Меркатора. Это изображение привел Ламберт в качестве примера созданной им проекции.

Как следствие, эта проекция идеально подходит для составления карт участков, протяженных с севера на юг, а также для небольших областей — достаточно правильно выбрать центральный меридиан, проходящий через изображаемую территорию. Именно эта проекция использовалась в различных атласах при составлении карт Северной Америки, западной части бывшего СССР, Индии, стран Востока, Юго-Восточной Азии, восточной части Австралии и Африки. Она широко применяется почти всеми европейскими странами. Так как проекция прекрасно подходит для изображения небольших территорий, она легла в основу системы топографических координат, в частности британской системы координат (1919) и американской системы SPCS (1930). В своем окончательном виде, который на сегодняшний день является универсальным, система координат была разработана в 1947 году Картографической службой армии США. Эта система получила название UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора).

В UTM поверхность земного шара между 84° с.ш. и 80° ю.ш. разделена на 60 зон по 6° долготы. При изображении каждой из этих зон используется поперечная проекция Меркатора, центральный меридиан которой проходит по центру изображаемой территории. Зоны пронумерованы от 1 до 60. С севера на юг земная поверхность разделена на 20 зон по 8° широты, которые обозначены буквами. Так, Бильбао находится в зоне UTM ЗОТ, Нью-Йорк — в зоне 18Т, Сидней — в зоне 56Н, Александрия — в зоне 35R. Для приполярных областей, расположенных севернее 84° с.ш. и южнее 80° ю.ш., используется система UPS (универсальная полярная система координат).

Систему UTM использует большинство топографических, геодезических, картографических служб мира, военных и морских министерств для составления карт в масштабе 1:500000 и более. В национальной топографической карте Испании, составленной Национальным географическим институтом и являющейся основой для всех карт страны, используется система UTM для карт в масштабе 1:200000, 1:50000, 1:25000 и более. Геологическая служба США (USGS) использует эту систему координат с 1977 года.

Карта зон UTM. Если мы хотим составить топографическую карту местности, где мы находимся, нужно посмотреть, в какой зоне UTM она располагается, чтобы правильно выбрать проекцию Меркатора.

Косая проекция Меркатора

Можно рассмотреть и косую проекцию Меркатора, в которой линия касания цилиндра и сферической модели Земли проходит вдоль произвольного большого круга, который не является экватором или меридианом. Косая проекция Меркатора, очевидно, также конформна: искажения в областях, близких к большому кругу касания, малы. Благодаря этому свойству проекция подходит для изображения областей, протяженных вдоль выбранного большого круга.

Происхождение этой проекции не вполне ясно. Первыми ее использовали Макс Розенмунд при составлении карты Швейцарии в 1903 году и Жан Лабор при составлении карты Мадагаскара в 1928 году. Начиная с этого времени косая проекция Меркатора используется на картах Американского континента и его частей, картах Евразии, Австралазии и более мелких регионов, в частности Вест-Индии (Багамских и Антильских островов), Гавайских островов, Новой Зеландии, Италии и Аляски. Эту проекцию применяют Национальное географическое общество и другие службы.

XX век стал периодом развития грузового и пассажирского транспорта. Все новые и новые авиакомпании покрывали огромные расстояния и даже предлагали клиентам трансатлантические перелеты. Эти маршруты по возможности прокладывались вдоль больших кругов — чтобы сократить время в пути и сэкономить горючее.

Аэронавигационные карты — это, как правило, складные карты, ориентированные вдоль направления, соединяющего аэропорт вылета и аэропорт прилета, на которых узкой полосой показаны территории, расположенные вдоль маршрута, поэтому с точки зрения картографии они не очень интересны. Косая проекция Меркатора по своим свойствам идеально подходит для прокладки курсов самолетов вдоль больших кругов. Так, в 1947 году Национальная служба по исследованию океана США применила эту проекцию для составления первой аэронавигационной карты маршрута, проходившего вдоль большого круга и соединявшего Чикаго и Гандер. В те времена аэропорт города Гандер на острове Ньюфаундленд был обязательным местом дозаправки при трансатлантических перелетах. На этой карте был не только изображен маршрут вдоль ортодромы — ее также можно было использовать для прокладки нового курса и измерения расстояний по маршруту, так как искажения расстояний и углов на этой карте были невелики.

Аэронавигационная карта маршрута Чикаго — Гандер, выполненная в косой проекции Меркатора.

С началом запуска спутников NASA в 1972 году эта картографическая проекция получила новое применение. Спутники, которые движутся по орбите, близкой к большому кругу земного шара, начали делать снимки земной поверхности. Эти снимки отличались от полученных при аэрофотосъемке и представляли собой результат сложного анализа земной поверхности. Огромные массивы полученной информации требовалось преобразовать в плоские изображения, то есть карты, с минимально возможными искажениями. Чтобы решить задачу составления карт на основе спутниковых изображений, Джон Снайдер, Алден Колвокорессес и Джон Джанкинс из USGS в 1976 году разработали космическую косую проекцию Меркатора на основе обычной косой проекции Меркатора.

Петерс против Меркатора

История, которой мы закончим эту книгу, началась примерно в 1967 году, когда немецкий историк Арно Петерс представил на конгрессе Венгерской академии наук свою «новую» проекцию. Расскажем немного о ней.

Шотландский священник Джеймс Галл (1808–1895) на конференции 1855 года описал проекцию, идентичную проекции Петерса, которая известна как ортографическая проекция Галла, и опубликовал описание этой и двух других картографических проекций своего авторства в «Шотландском географическом журнале» в 1885 году. Галл разрешил бесплатно использовать все три созданные им проекции при условии указания авторства.

Карта, выполненная в ортографической проекции Галла, или Галла — Петерса, и изображение секущего цилиндра, на поверхность которого проецируется поверхность сферы.

Эта проекция строится аналогично равновеликой цилиндрической проекции Ламберта, которую мы рассмотрели в главе 5, с одним отличием: вместо цилиндра, касающегося сферической модели Земли вдоль экватора (в прямой разновидности этой проекции), используется цилиндр, рассекающий сферу вдоль двух параллелей. В ортогональной проекции Галла, которая в конечном итоге стала называться проекцией Галла — Петерса, параллели пересечения цилиндра и сферы, которые являются стандартными линиями карты, отстоят от экватора на 45° широты. Эта проекция является равновеликой, подобно другим похожим проекциям, которые отличаются от нее расположением стандартных параллелей. Так, в проекции Бермана 1910 года стандартные параллели отстоят от экватора на 30°, в проекции Тристана Эдвардса 1953 года — на 37° и 52°, в проекции Хобо — Дайера 2002 года — на 37°.