Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

• Название: Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика
• Автор: Рауль Ибаньес
• Издательство: ООО «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014

Современный человек пользуется картами практически ежедневно: карты украшают стены школ, они помогают нам ориентироваться на местности, находить кратчайший путь из одного пункта в другой, изучать историю, географию, экономику и ряд других наук.

Карты — важный рабочий инструмент для некоторых специалистов: моряков, летчиков, машинистов, топографов и проч. Но много ли мы знаем о том, как создаются карты? Для чего существует такое количество разнообразных карт и насколько все они точны?

Прочитав эту книгу, вы узнаете множество новых и любопытных фактов о геометрии карт.

---

* * *

АРНО ПЕТЕРС (1916–2002)

Согласно записи в метрической книге, Арно Петерс родился в Берлине в 1916 году. Он изучал историю, историю искусства и журналистику в Берлинском университете. В бурные 1930-е годы Петерс работал режиссером, в 1945 году получил степень доктора, защитив диссертацию о политической пропаганде под названием «Использование кино как средства пропаганды», а также работал журналистом. Петерс вошел в историю как создатель «справедливой» и точной карты мира — знаменитой карты Петерса, подробно описанной в его книге «Новая картография». Главной работой Петерса, не относящейся к картографии, стал труд «Синхронно-оптическая история мира», в котором он изложил историю человечества, посвятив каждому столетию одинаковое число страниц. В 1974 году он стал сооснователем Бременского института всеобщей истории.

* * *

Цилиндрические равновеликие проекции. Стандартные параллели расположены на разных широтах в зависимости от того, как цилиндр проекции рассекает сферическую модель Земли.

Арно Петерс представил свою проекцию как оригинальную. Когда ему напомнили, что Галл создал аналогичную проекцию на сто лет раньше него, Петерс возразил, что создал ее самостоятельно и совершенно независимо от кого бы то ни было. Научное сообщество не уделило проекции Петерса особого внимания, но не по личным причинам, а потому, что она не была принципиально новой либо оригинальным вариантом одной из уже существующих проекций. В науке ценится нечто исключительно новое — теоремы, гипотезы или доказательства. Например, ученые часто приводят новые доказательства уже доказанных математических теорем, более простые и понятные, чем исходные, либо сформулированные с использованием каких-то новых методов.

В 1973 году, когда Петерс рассказал о своей проекции на пресс-конференции в Бонне, история получила продолжение. Петерс передал журналистам копии своей карты мира и брошюру «Европоцентричная природа нашего изображения мира и его завоеваний», представив свою карту как единственно правильную с точки зрения социологии и картографии в отличие от проекции Меркатора. Основной аргумент Петерса заключался в том, что проекция Меркатора искажает площади различных частей земного шара, и страны так называемого третьего мира (Африка, Центральная и Южная Америка) на ней выглядят меньше, чем государства так называемого первого мира (Северная Америка, Европа и Россия). Страны третьего мира населяют люди с темным цветом кожи, страны первого мира — люди с белым цветом кожи, поэтому проекция Меркатора является расистской и от нее следует отказаться, утверждал Петерс. После этого Петерс представил «свою» карту мира как единственно возможную альтернативу.

Пресс-конференция дала начало дебатам, в ходе которых средства массовой информации (сравнивавшие Петерса с Давидом, вышедшим на бой против Голиафа) и некоторые гуманитарные и религиозные организации, не принимая в расчет научные критерии, отстаивали правильность карты Петерса. Несколько лет спустя такие организации, как Всемирный совет церквей, Лютеранская церковь Америки, различные агентства Организации Объединенных Наций и некоторые международные негосударственные организации начали использовать проекцию Петерса и способствовать ее распространению. Выдвигались следующие мнения:

«Проекция Меркатора переоценивает белого человека и искажает изображение мира в пользу сторонников колониализма» (Петерс);

«Это карта будущего справедливого мира»;

«[Петерс,] неизменно движимый стремлением к справедливости, выбрал путь картографии, чтобы создать образ мира, в котором каждый народ занимает соответствующее место как с географической, так и с политической точки зрения»;

«В карте Петерса исправлены ошибки карты Меркатора […] она точнее с научной точки зрения».

Петерс воспользовался доверчивостью людей и отсутствием у них даже начальных знаний о картографии. В результате его карта стала считаться «единственной справедливой картой» и, что еще хуже, «единственной точной картой» с точки зрения математики и картографии.

Искажение площадей в областях, близких к полюсам, в проекции Меркатора очень велико. К примеру, Гренландия выглядит больше, чем Африка, хотя площадь Гренландии составляет всего лишь около 2175 000 км2 по сравнению с площадью африканского континента, равной 29 800 000 км2.

Петерс, который был докой в пропаганде, свел обсуждение к противостоянию между «расистской» картой Меркатора и своей «справедливой» картой, умолчав о более сложных картографических аспектах, в том числе о научном подходе к составлению карт и о существовании сотен различных проекций, которые можно использовать в разных целях и многие из которых являются равновеликими. Кроме того, в книге «Новая картография» (1983) Петерс поместил истинные утверждения (например, что карта Меркатора искажает площади и центральным в ней является Гринвичский меридиан или что проекция Петерса является равновеликой) рядом с ложными (так, он указывал, что равновеликие проекции, созданные до него, «были столь неудобны и содержали столько ошибок…» или что карта Петерса обладает «достоверностью масштаба»), применив псевдонаучный язык.

В то время общество уже было готово использовать карты мира, составленные в проекциях, отличных от проекции Меркатора: картографы прекрасно понимали, что эта проекция превосходна, но не подходит для изображения всей планеты из-за больших искажений в определенных областях. Петерсу удалось положить конец многолетней популярности проекции Меркатора и вывести на первый план свою карту, оставив в стороне широчайший спектр картографических проекций, сохраняющих площади (например, гомолосинусоидальную проекцию Гуда, проекцию Моллвейде, синусоидальную проекцию Сансона-Флемстида и проекцию Eckert IV), другие параметры (например, равнопрямоугольную проекцию Миллера) и иные компромиссные варианты с очень малыми вносимыми искажениями (например, проекции, использованные Национальным географическим обществом, проекция Артура Робинсона 1961 года и тройная проекция Винкеля 1921 года).

Тройная проекция Винкеля — это компромиссное решение: она не сохраняет ни одно из метрических свойств, однако вносимые ею искажения невелики.

* * *

ПРОЕКЦИЯ ДИМАКСИОН

Ричард Бакминстер Фуллер, создатель геодезического купола, разработал собственную картографическую проекцию. Его идея заключалась в проецировании земной поверхности на правильный или полуправильный многогранник с последующим развертыванием этого многогранника на плоскости. В проекции Димаксион (от англ. DYnamics MAXimum tensiON — «максимальное динамическое растяжение»; это название не является торговой маркой, а выражает основной принцип, которым руководствовался Фуллер), запатентованной в 1946 году, Фуллер использовал кубоокгаэдр (многогранник, имеющий восемь треугольных и шесть квадратных граней), а в версии этой проекции от 1954 года он применил слегка видоизмененный икосаэдр (многогранник, имеющий 20 треугольных граней). Использованная Фуллером проекция не является гномонической, а определяется построением, подобным тому, что используется при изображении геодезического купола. Для карты, составленной в проекции Димаксион, характерны малые искажения площадей и форм. Кроме того, вносимые ею искажения достаточно равномерны. Хотя многогранник, используемый в этой проекции, можно развернуть на плоскости разными способами, как правило, используется развертка, в которой Северный полюс оказывается примерно в центре карты. На карте в проекции Димаксион изображен мир, в котором нет ни севера, ни юга. Эту карту можно рассматривать с любой стороны, а континенты выглядят не разделенными частями суши, а скорее островами посреди океана.

Карта в проекции Димаксион, выполненная на основе икосаэдра. Пунктиром отмечены линии сгиба.

* * *

Возмущение научного мира было вызвано, с одной стороны, тем, что общество пренебрежительно отнеслось к их работам в области картографии, с другой стороны — тем, что Петерс при защите своей проекции умело манипулировал аргументами. Существование проекций, сохраняющих площади, доказывается в статье Ламберта от 1772 года, в которой он представил свою равновеликую цилиндрическую проекцию, а также еще одну, азимутальную. Позднее было описано множество других равновеликих проекций. Кроме того, проекция Галла — Петерса сохраняет площади, однако искажение форм на ней очень велико: территории, изображенные в центре карты, значительно вытягиваются в направлении «север — юг», а участки земной поверхности, расположенные севернее 45° с.ш. и южнее 45° ю. ш. — сжимаются. По иронии, искажение форм заметнее всего проявляется на территории Африки, Центральной и Южной Америки, а на территории Европы, США и Канады, которые находятся ближе к параллели 45° с.ш., искажения меньше. Приведем несколько любопытных цитат и карту в проекции Снайдера: