Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

• Название: Математические головоломки профессора Стюарта
• Автор: Иэн Стюарт
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 2017
• ISBN: 978-5-9614-4502-2

Книга «Математические головоломки профессора Стюарта» известного математика и популяризатора математической науки Иэна Стюарта – сборник задач, головоломок и увлекательных историй. Повествование в книге основано на приключениях детектива-гения Хемлока Сомса и его верного друга, доктора Джона Ватсапа. Они ломают головы над решением задач с математической подоплекой.

Автор уделяет внимание математическим датам, загадкам простых чисел, теоремам, статистике и множеству других интересных вопросов. Эта умная, веселая книга демонстрирует красоту математики. Из книги читатель узнает о форме апельсиновой кожуры, евклидовых каракулях, блинных числах, о гипотезе квадратного колышка и других решенных и нерешенных задачах. Книга будет интересна всем, кто не равнодушен к загадкам, любит математику и решение головоломок.

---

– О ком вы говорите?

– Ну конечно о Могиарти! Профессор Джим Могиарти, блестящий, но безнравственный математик, переметнувшийся на Темную сторону. Начинал он как простой вор-кошатник, но потом занялся более выгодными объектами. Он способен не просто спереть все, что не приколочено гвоздями: он готов украсть также гвозди, молоток и доски пола. Он преследует меня по пятам с тех самых пор, когда…

– Сомс, как вор-кошатник может кого-то преследовать? Он же не собачник…

– Как я уже сказал, он мастер перевоплощений, Ватсап. Слушайте внимательнее.

– И как он проявляет себя?

– Вымогательство, воровство, убийство, похищение людей. И вот теперь котнеппинг. Могиарти возвращается к истокам и вспоминает молодость, – лицо Сомса обрело мрачное и решительное выражение. – Не бойтесь, Ватсап. Мы спасем ваших любимиц… – Поймав мой яростный взгляд, он поправился: – Ваших пушистых компаньонок из семейства кошачьих. Даю слово.

Я наконец додумался задать главный вопрос:

– Сомс! Откуда вы узнали, что мои кошки пропали?

Он молча протянул мне вскрытый конверт. Внутри лежал клочок бумаги и изжеванная мышка из кошачьей мяты.

– Да, это игрушка Геморроя! – я мужественно подавил рыдание. – А что в записке?

Он показал мне клочок бумаги. На нем было написано:

– Написано немного путано, Сомс, но я вижу здесь слова ККК, АТЛ и СИЛО. Э-э… Здесь что, говорится, что спортсменов заманивают в ку-клукс-клан?

– Нет, Ватсап! Это шифр. Я уже расшифровал записку.

– Как?

– Я заметил, что здесь 33 буквы. На какую мысль это вас наталкивает, Ватсап?

– Э-э… Клочок маленький, на большее не хватило места.

– Ватсап! 33 – это 3 × 11, произведение двух простых чисел. Я сразу же вспомнил о математическом прошлом Могиарти. И мне пришло в голову записать эти буквы в виде прямоугольника 3 × 11. Вот так.

Он буквально сиял от гордости; я не мог понять почему. Мне все это по-прежнему казалось бессмысленной чепухой.

– Читайте по столбцам сверху вниз, Ватсап!

– ПРЕКРАТИТЕСЛЕДСТВИЕИЛИКОШКАМКОНЕЦ. О господи! – теперь я дрожал с ног до головы. – Но почему? Почему Могиарти поступает так жестоко с невинными существами?

– Он посылает нам сообщение.

– Это-то ясно…

– Нет, я говорил метафорически.

– А! Он что, потребовал выкуп?

– Нет. Мне кажется, это проверка. Я подозреваю, что это преступление – всего лишь прелюдия к куда более страшным деяниям. Он играет с нами, как кошка с мышкой.

Я подавил очередное рыдание.

– Что мы можем сделать?

– Игра началась, и мы должны всегда быть на шаг впереди, чтобы нас не захватили врасплох. Мои доверенные информаторы уже отыскали ваших кошек в совершенно обыкновенном на первый взгляд доме – как ни смешно, в Гавкинге. На самом деле дом оборудован ловушками, стальными дверями, пуленепробиваемыми стеклами и охранными системами нескольких типов. Нет никакой возможности незаметно проникнуть внутрь.

Я вернул свой армейский револьвер обратно в карман.

– Жаль.

– Однако Могиарти допустил ошибку. В доме есть заколоченная дверца для кошки. Может быть, нам удастся восстановить ее функции и выманить ваших кошек наружу.

– Да! – воскликнул я. – Я понял! Мы сможем выманить их любимыми лакомствами. Аневризма любит артишоки, Ботулизм без ума от бананового хлеба, Ветрянка ни за что не устоит перед ватрушкой, а погибель Геморроя – гренки!

– Гренки… – отозвался Сомс. – Ну, неважно. Немного поработать головой, немного принципиально важной информации – и вы видите? Мы продвигаемся вперед. Мы можем воспользоваться этими предметами, чтобы выманить ваших кошек наружу через кошачью дверцу.

– У меня дома имеются значительные запасы необходимых продуктов, – поспешил я заверить Сомса. – Я привезу.

– Это будет просто замечательно, Ватсап, но всему свое время. Пока же у нас есть проблема. Мы должны подносить эти деликатесы к дверце в правильном порядке; ни в коем случае нельзя допустить, чтобы ваши кошки подрались.

– Конечно. Они могут поранить друг друга.

– Нет, дело не в этом. Подвал дома Могиарти заполнен мощной взрывчаткой, и злодей устроил так, что все взорвется, если животные подерутся.

– Что?! Почему?

– Потому что он уверен, и не без оснований, что любая попытка спасти их вызовет кошачью драку. Он хочет использовать самих животных в качестве сигнализации. Как обычно, ему наплевать на страшные последствия его кровавых махинаций. Как я уже сказал, он подает нам сигнал: он ни перед чем не остановится.

– Вижу, это и правда так.

– Вы видите, Ватсап, но вы не замечаете. Наблюдение начинается с расспросов, которые дают материал для дедукции. Я сейчас занимаюсь расспросами. При каких обстоятельствах ваши кошки дерутся? Будьте точны, от этого зависит успех или неудача нашего замысла.

– Они дерутся только в помещении, – ответил я, немного поразмыслив.

– Но тогда дом может в любой момент взлететь на воздух!

– Нет, мои кошки могут быть совершенно мирными, если удастся избежать некоторых их сочетаний.

Я записал на листе бумаги несколько условий.

• Если Ветрянка и Аневризма находятся в помещении вместе, они дерутся, если рядом нет Геморроя. Если Геморрой и Ботулизм находятся в помещении вместе, они дерутся, если рядом нет Аневризмы.

• Если Аневризма и Геморрой находятся в помещении вместе, они дерутся, если рядом нет Ботулизма или Ветрянки (или их обоих).

• Если Ветрянка и Геморрой находятся в помещении вместе, они дерутся, если рядом нет Ботулизма или Аневризмы (или их обоих).

• Если Аневризма или Ботулизм остаются в помещении поодиночке, они вообще отказываются выходить наружу.

Как Сомсу и Ватсапу выманить кошек наружу, не вызвав при этом взрыв? Одновременно в кошачью дверцу может протиснуться лишь одно животное. Забудьте о тривиальных ходах, когда какая-то из кошек выходит наружу и ее тут же возвращают обратно. Однако при необходимости любую из кошек в процессе выманивания можно в нужный момент втолкнуть обратно через ту же дверцу.

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Блинные числа

Вот настоящая математическая загадка – простая задача, решение которой пока ускользает от ученых не хуже, чем преступный гений Могиарти.

Дается стопка круглых блинов разных неповторяющихся размеров. Ваша задача – поменять порядок блинов таким образом, чтобы они располагались снизу вверх в порядке убывания диаметра. Единственное действие, которое вам разрешается производить, – это вставить условную лопаточку под один из блинов стопки, поднять стопку, которая оказалась сверху, и перевернуть ее целиком. Вы можете повторять эту операцию столько раз, сколько потребуется, и произвольно выбирать место, куда вставлять лопаточку.

Приведем пример с четырьмя блинами. Для их упорядочивания требуется три переворота.

Вот несколько вопросов для вас.

1. Любую ли стопку из четырех блинов можно упорядочить не более чем за три переворачивания?

2. Если нет, то каково наименьшее число переворачиваний, при помощи которых можно упорядочить любую стопку из четырех блинов?

3. Определите для n-го блина число Pn – наименьшее число переворачиваний, при помощи которых можно упорядочить любую стопку из n блинов. Докажите, что Pn всегда конечно. То есть что любую стопку блинов можно упорядочить при помощи конечного числа переворачиваний.

4. Найдите Pn для n = 1, 2, 3, 4, 5. Я остановился на n = 5, потому что здесь мы уже имеем 120 различных вариантов стопки, все из которых нужно рассмотреть, а это, говоря откровенно, уйма работы.

Ответы на вопросы, а также то, что еще известно об этой задаче, см. в главе «Загадки разгаданные».

Фокус с суповой тарелкой

В продолжение кулинарной темы существует забавный фокус, который вы можете проделать с суповой тарелкой или другим похожим предметом. Начните с того, что поставьте тарелку на пальцы примерно так, как это делает официант, подавая кушанья. Затем объявите зрителям, что вы сейчас проделаете поразительный трюк: сделаете полный круг рукой, все время удерживая тарелку в горизонтальном положении.

Для этого сначала заверните руку внутрь – так чтобы тарелка оказалась примерно под мышкой. Затем продолжайте двигать тарелку по кругу, но руку поднимите над головой. Все естественным образом повернется в исходную позицию, и тарелка не упадет, несмотря на то что вы ее не придерживаете.