Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

• Название: Математические головоломки профессора Стюарта
• Автор: Иэн Стюарт
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 2017
• ISBN: 978-5-9614-4502-2

Книга «Математические головоломки профессора Стюарта» известного математика и популяризатора математической науки Иэна Стюарта – сборник задач, головоломок и увлекательных историй. Повествование в книге основано на приключениях детектива-гения Хемлока Сомса и его верного друга, доктора Джона Ватсапа. Они ломают головы над решением задач с математической подоплекой.

Автор уделяет внимание математическим датам, загадкам простых чисел, теоремам, статистике и множеству других интересных вопросов. Эта умная, веселая книга демонстрирует красоту математики. Из книги читатель узнает о форме апельсиновой кожуры, евклидовых каракулях, блинных числах, о гипотезе квадратного колышка и других решенных и нерешенных задачах. Книга будет интересна всем, кто не равнодушен к загадкам, любит математику и решение головоломок.

---

Видео трюка с тарелкой (суповой) можно найти в Интернете, к примеру на сайте

http://www.youtube.com/watch?v=Rzt_byhgujg,

где его называют балийским трюком с чашей и связывают с балийским танцем, где вместо тарелки используется чаша с жидкостью. Аналогичный филиппинский танец, где задействованы винные бокалы (по два на человека, по одному в каждой руке), можно увидеть на YouTube по адресу

http://www.youtube.com/watch?v=mOO_IOznZCQ

Движение руки при исполнении трюка может показаться достаточно простым, но имеет глубокий математический смысл. В частности, оно помогает специалистам по физике элементарных частиц разобраться в одном из любопытных квантовых свойств, который называют спином. В действительности квантовые частицы не вращаются на самом деле, как шарик на пальце жонглера, но существует число, которое называется «спин» и в определенном смысле обозначает что-то похожее. Спин может быть положительным и отрицательным, что аналогично вращению по часовой стрелке или против нее. У некоторых частиц спин выражается целым числом; эти частицы называются бозонами (помните охоту на бозон Хиггса?). Другие, что куда более необычно, имеют полуцелые спины, такие как 1/2 или 3/2. Такие частицы называются фермионами.

Половинки спина возникают благодаря одному очень странному явлению. Если взять частицу со спином 1 (или любым другим целым спином) и повернуть ее в пространстве на 360°, она окажется в прежнем состоянии. Но если взять частицу со спином ½ и повернуть ее в пространстве на 360°, то спин ее превратится в −½. Нужно повернуть частицу на 720°, на два полных оборота, чтобы получить прежний спин.

Математический смысл всего этого заключается в том, что существует «группа преобразований» под названием SU (2), которая описывает спин и действует путем преобразования квантовых состояний, и другая группа SO (3), которая описывает вращения в пространстве. Они родственны между собой, но не идентичны: каждое вращение в SO (3) соответствует двум различным преобразованиям в SU (2), противоположным одно другому. Такое отношение называется двойным накрытием. SU (2) как бы накручивается вокруг SO (3), но при этом совершает два оборота. Это немного напоминает резиновую ленту, дважды обернутую вокруг гимнастической палки.

Физики иллюстрируют эту идею посредством фокуса со струной Дирака, названной в честь великого квантового физика Поля Дирака. Идея реализуется во множестве разных форм; в одной из простейших реализаций используется лента, один конец которой закреплен неподвижно, а другой прикреплен к свободно плавающему в пространстве вращающемуся объекту – ротору. Лента имеет форму вопросительного знака. После поворота на 360° она не возвращается в первоначальное положение, а занимает положение, повернутое относительно первоначального на 180°. А вот второй полный оборот ротора (720°) не перекручивает ленту, а возвращает ее в начальное положение. Лента движется приблизительно так же, как рука с суповой тарелкой, разве что тарелка при этом слегка перемещается. Астронавт в невесомости мог бы проделать те же движения вокруг зафиксированной тарелки, сохраняя при этом ориентацию тела.

Компьютерная анимация Air On Dirac String, подготовленная Джорджем Фрэнсисом, Лу Кауфманом и Дэниелом Сандином (графика Криса Хартмана и Джона Харта) и располагающаяся по адресу http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/dirac.html, наглядно демонстрирует связь между фокусом со струной Дирака и филиппинским танцем с чашей вина.

Ту же идею можно использовать для связи электрического тока с неким вращающимся устройством, к примеру с колесом. На первый взгляд здесь возникает техническая проблема: чтобы лента могла распутываться, колесо должно висеть в воздухе без всякой поддержки. Однако в 1975 г. Д. А. Адамс разработал и запатентовал устройство, при помощи специального передаточного механизма позволяющее ленте беспрепятственно огибать колесо со всех сторон. Это устройство слишком сложно, чтобы описывать его здесь, но тот, кого это заинтересовало, может заглянуть в статью: C. L. Strong, The Amateur Scientist, Scientific American (December 1975) 120–150.

Математические хайку

Хайку – это малая японская стихотворная форма, состоящая традиционно из трех отдельных фраз (строк) и 17 слогов. Реальное японское слово не соответствует в точности английской[10] концепции слога, но для англоязычного хайку такая параллель вполне годится. Строгая традиционная форма предполагает наличие пяти слогов в первой и третьей фразах и семи – в центральной. В качестве примера приведем хайку Мацуо Басё (1644–1694), где как оригинал (не приводится), так и приведенный ниже английский перевод имеют верный формат:

At the age old pond
a frog leaps into water
a deep resonance.

Старый пруд заглох.
Прыгнула лягушка.
Слышен тихий всплеск.

(пер. Н. И. Конрада)

В нынешние декадентские времена формула 5-7-5 зачастую не соблюдается, допускаются и другие варианты, такие как 6-5-6. Полное число слогов также может не равняться 17. Самое важное в хайку – не точность формы, а эмоциональное содержание, которое требует наличия двух различных, но связанных образов.

Простой формат хайку несет в себе определенный математический «аромат», и любителями во всем мире написано бесчисленное количество хайку на математические сюжеты. К примеру:

Дэниел Мэтьюз

Ruler and compass
Degree of field extention
Must be power of two.

Джонатан Алперин

Beautiful Theorem
The basic lemma is false
Reject the paper.

Джонатан Розенберг

Colloquium time.
Lights out, somebody's snoring.
Mathis hard work[11].

Иногда случайные хайку возникают в прозе, когда автор, не задумываясь о том, строит предложение в соответствующем формате. К примеру, в «Машине времени» Г. Уэллса:

And in the westward
sky, I saw a curved pale line
like a vast new moon.

В 1977 г. мы с Тимом Постоном в качестве посвящения поместили в своей книге «Теория катастроф и ее приложения» такое хайку:

To Christopher Zeeman
At whose feet we sit
On whose shoulders we stand.

Дело о таинственном колесе Из мемуаров доктора Ватсапа

Сомс пересматривал сложенные стопкой газеты в поисках преступления, которое послужило бы достаточным вызовом для его талантов, чтобы за его расследование стоило браться. В этот момент я случайно выглянул в окно и увидел, как из двухколесного кэба появляется знакомая фигура.

– О, Сомс! – воскликнул я. – Это же…

– Инспектор Роулейд. Он сейчас будет здесь, чтобы попросить нас о помощи.

В дверь постучали. Я открыл и увидел за дверью миссис Сопсудс и инспектора.

– Сомс! Я пришел насчет…

– Дела о похищении Даунингема. Да, в этом деле есть интересные особенности, – он передал Роулейду газету.

– Статья написана охотником за сенсациями, мистер Сомс. Невежественные разглагольствования о вероятной судьбе эрла Даунингема и размерах выкупа, который требуют с его родственников.

– Пресса весьма предсказуема, – заметил Сомс.

– Да. Хотя в данном случае она играет нам на руку; в статье не упомянуты некоторые ключевые факты, которые, возможно, помогут нам распознать…

– Преступника. Такие, к примеру, как полное отсутствие каких бы то ни было требований о выкупе.

– Но откуда…

– Если бы такое требование было, к настоящему моменту оно уже стало бы достоянием публики. Ничего такого нет. Очевидно, это не обычное похищение. Нам следует как можно быстрее ехать в Даунингем-холл. Который, если мне не изменяет память – а она никогда мне не изменяет, – находится в Верхнехэмских низинах.

– Поезд на Аппингем уходит через 11 минут с вокзала Кингс-Кросс, – сказал я. Поняв, к чему движется дело, я сразу взял с полки справочник Брэдшоу.

– У нас есть шанс успеть на него, если мы пообещаем кэбмену гинею! – воскликнул Сомс. – А дело можно будет обсудить в пути.

По прибытии в Даунингем-холл герцог Саутморленд – он приходился отцом эрлу Даунингему, который по освященной временем аристократической традиции пока носил один из не самых значимых титулов отца, – встретил нас лично и быстро провел на место похищения – к грязному истоптанному загону возле сарая.

– Мой сын пропал в какой-то момент ночью, – объявил он. По его внешности было ясно, как он потрясен происшедшим.

Сомс вытащил увеличительное стекло и несколько минут ползал вокруг, рассматривая истоптанную грязь. Время от времени он бормотал что-то себе под нос. Затем он вытащил из кармана рулетку и произвел несколько измерений в одном из углов сарая.