Михаил Бармин - Теоретическая механика. Часть 4. Динамика системы материальных точек и твердого тела с решениями задач

• Название: Теоретическая механика. Часть 4. Динамика системы материальных точек и твердого тела с решениями задач
• Автор: Михаил Бармин
• Жанр: Детская образовательная литература

Конспект лекций ориентирован на объем курса до 102 часов для студентов технологов различных специальностей. Краткий конспект лекций по теоретической механике с включением примеров решения типовых задач по всем темам курса. Составлен на базе анализа лекций курсов теоретической механике для ряда технологических вузов различных направлений. Является основой для освоения студентами инженерных дисциплин, таких как “Сопротивление материалов”, “Теория механизмов и машин”, “Детали машин”, “Подъемно – транспортные устройства и др.”

---

инерции и

Здесь “a”– ускорение грузов. Дадим возможное перемещение

Тогда:

Отсюда имеем: Это ответ.

Рис 1.5

Известно, что . При Q=P имеем a=0 – равновесие системы.

ЛЕКЦИЯ №2

1.4. Центр масс механической системы и твердого тела и теорема о его движении.

Центр масс механической системы любого числа “n” материальных точек в произвольном его движении это точка (или место в пространстве внутри системы), для которой выполняется следующее векторное равенство: (1.5)

На рис. 1.6. изображен центр масс “C” произвольной М.С. Видно, что . Если произвести умножение на , а затем суммировать по “i=1n”, то имеем:

. Отсюда . (1.6)

Понять, почему для () С легко на примере системы 2х точек .

(Рис. 1.7), для которой () С будет посредине, т. е. и

Здесь векторная сумма

Если данная система симметрично разойдется, при этом центр масс “С” останется на месте. В этом несовершенство данного понятия, т.к. () С не отражает некоторых возможных (виртуальных) перемещений, опускаемых связями, наложенными на систему.

Спроектирован 1.6. на оси декартовой системы координат (Рис. 1.6) и учтя, что массе всей системы, имеем:

,, (1.7)

Это формулы определения координат центра масс “С”.

Если для вех точек “” системы ускорение свободного падения 9,81 м/, то умножая и деля на g выражения 1.7 получим координаты центра тяжести твердого тела весом Р=Mg, т.е.

; ; . (1.8)

Эти формулы выводились в ч. 1 – статике. В целом понятие центра масс более широкое, чем частное понятие центра тяжести. В ряде случаев координаты центра масс и центра тяжести не совпадают по положению.

В процессе движения М.С. меняются координаты () С. Установим закон их изменения с помощью теоремы о движении центра масс. Формулировка. Центр масс механической системы (и твердого тела) движется так, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы (М=) и к которой приложены все – внешние силы, действующие на все точки системы. Внутренние силы () не влияют на движение центра масс.

Доказательство. Берем за базу 2—закон Ньютона применяем его ко всем i=1/n точкам системы (). Учтем при этом, что ,

т.к. это свойство главного вектора внутренних сил. Имеем:

. Выясним, чему равна , учтя, что и по рис.1.6.

Имеем: , т.е. Тогда 1.9

Это и есть закон движения центра масс механической системы и Твердого тела. Видно, что только внешние силы влияют на его движение.

Часто М.С. получает движение как раз из—за наличия в ней внутренних сил , но эти внутренние силы вызывают внешние реактивные силы которые и влияют на движение центра масс “С”.

Это легко понять, анализируя процесс выстрела снарядом из ствола орудия. Система ствол—снаряд за счет внутренних сил давления пороховых газов получает движение вида: снаряд—направо, орудийный ствол– налево. Так возникает “отдача” при выстреле. Орудие контактирует с внешней средой и при откате его возникает реакция внешней связи которая входит в группу всех внешних сил, так что выражение 1.9. Можно

расширенно записать так:

1.10

В выражениях 1.10 имеем дифференциальные уравнения движения () С, интегрируя которые можно получить кинематические уравнения движения () С, т.е. x=x(t), y=y(t) и z=z(t).

1.5. Понятие о моментах инерции”I” механической системы и твердого тела. Более объемной характеристикой распределения масс “m” внутри механической системы и твердого тела любой формы является понятие о

моментах инерции”I”.

Если условие существования центра масс ( ) не всегда отражает истинное положение точек “mi” системы (Рис. 1.7), то для “I” имеем: Здесь поэтому и чем больше ,тем больше I.

Различают плоскостные, осевые и полярные моменты инерции. Определим их для твердого тела в системе декартовых осей (рис.1.8).

Плоскостные J: ;

;

Осевые J определим исходя из того, что кратчайшее расстояние от точки “m” до оси “oy” (рис.1.8) определится по теореме Пифагора как “”

Тогда осевые J: ;

;

.

Учтя, что расстояние от М до полюса “O” есть большая диагональ параллелепипеда, т.е. , имеем Полярный .

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.