Скотт Ааронсон - Квантовые вычисления со времен Демокрита

• Название: Квантовые вычисления со времен Демокрита
• Автор: Скотт Ааронсон
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 2018
• ISBN: 978-5-9614-5030-9

Написанная известным теоретиком в области квантовых вычислений Скоттом Ааронсоном, эта книга проведет вас через поразительное разнообразие тем, исследуя самые глубокие идеи математики, информатики и физики от теории множеств, вычислительной сложности, квантовых вычислений до интерпретации квантовой механики. Кроме того, вы познакомитесь с дискуссиями относительно путешествий во времени, парадокса Ньюкома, антропного принципа и взглядов британского физика и математика Роджера Пенроуза.

Неформальный стиль Ааронсона делает эту поразительную книгу доступной для читателей с научной подготовкой, а также для студентов и исследователей, работающих в области физики, информатики, математики и философии.

---

Множество ординальных чисел обладает тем важным свойством, что оно хорошо упорядочено. Это означает, что в каждом его подмножестве имеется некоторый минимальный элемент. Это отличает его от множества целых чисел или множества положительных действительных чисел, в которых у каждого элемента есть предшествующий элемент.

А теперь кое-что интересное. Все ординальные числа, которые я перечислил, обладают одним особым свойством: они имеют не более счетного количества (то есть не более ℵ0) предшественников. Что, если рассмотреть множество всех ординальных чисел с не более чем счетным числом предшественников? Ну, у такого множества тоже имеется следующий элемент, назовем его α. Но сколько предшественников у α, тоже ℵ0? Разумеется, нет, поскольку в противном случае α не был бы следующим элементом по отношению к нашему множеству, а входил бы в это множество! Множественно предшествующих α элементов обладает следующей возможной мощностью, которая называется ℵ1.

Такого рода рассуждения доказывают, что множество мощностей само по себе является вполне упорядоченным. После бесконечности целых существует «следующая по возрастанию бесконечность», а также «следующая за ней по возрастанию бесконечность» и т. п. Однако невозможно увидеть бесконечную уменьшающуюся последовательность бесконечностей, какую можно получить в случае действительных чисел.

Таким образом, начиная с ℵ0 (мощность множества целых чисел), мы уже видели два разных способа получить «большие бесконечности, чем бесконечность». Один из этих способов выдает мощность множества множеств целых чисел (или, что то же самое, мощность множества действительных чисел), которую мы обозначаем 2ℵ₀. Другой способ выдает ℵ1. Можно ли сказать, что 2ℵ0 равно ℵ1? Или скажем иначе: существует ли бесконечность промежуточного размера между бесконечностью целых чисел и бесконечностью действительных чисел?

Этот вопрос стоял первым в списке задач Давида Гильберта, предложенных им в 1900 г. Более полувека он оставался одной из великих нерешенных математических задач, пока не получил «решения» (оказавшегося несколько обескураживающим, как вы увидите).

Сам Кантор считал, что промежуточных бесконечностей не существует, и называл это утверждение континуум-гипотезой. Кантор очень сердился на себя за то, что никак не мог ее доказать.

Кроме континуум-гипотезы, существует еще одно утверждение касательно бесконечных множеств, которое никто не мог доказать или опровергнуть, исходя из аксиом Цермело – Френкеля. Это утверждение – печально известная аксиома выбора, в которой говорится, что если у вас имеется (возможно, бесконечное) множество множеств, то можно сформировать новое множество, взяв по одному элементу из каждого множества. Звучит разумно, не правда ли? Вот только если вы принимаете это утверждение, то вам придется признать также, что существует способ разрезать шар на конечное число кусочков, а затем собрать из этих же кусочков новый шар в тысячу раз большего размера. (Это «Парадокс Банаха – Тарского». Следует признать, что отрезать такие «части» ножом довольно проблематично…)

Но почему аксиома выбора приводит к таким драматическим последствиям? В основном потому, что утверждает, что некоторые множества существуют, но не дает никакого правила по формированию этих множеств. Как сказал по этому поводу Бертран Рассел, «чтобы взять по одному носку от каждой из бесконечного числа пар носков, требуется аксиома выбора, а для ботинок такой аксиомы не требуется». (Какая разница?)

Оказывается, аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что любое множество может быть вполне упорядоченным: иными словами, элементы любого множество можно попарно поставить в соответствие порядковым числам 0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, 2ω, 3ω, … вплоть до некоторого порядкового числа. Если подумать, к примеру, о множестве действительных чисел, это представляется далеко не очевидным.

Несложно убедиться, что полная упорядоченность подразумевает аксиому выбора: достаточно просто вполне упорядочить всю бесконечность носков, а затем выбрать из каждой пары носков тот, что идет первым по порядку.

Хотите убедиться в обратном? Почему аксиома выбора подразумевает, что любое множество можно полностью упорядочить? Да?

Хорошо! У нас имеется множество A, которое мы хотим полностью упорядочить. К каждому собственному[12] подмножеству B ⊂ A мы применим аксиому выбора, чтобы выбрать элемент f(B) ∈ A – B (где A – B означает множество всех элементов A, которые не являются также элементами B). Теперь мы можем начать упорядочение A так: пусть s0 = f({}), далее пусть s1 = f({s0}), s2 = f({s1}) и т. п.

Может ли этот процесс продолжаться до бесконечности? Нет, не может. Потому что если бы он продолжался до бесконечности, то посредством так называемой «трансфинитной индукции» мы могли бы запихнуть в A произвольно большие бесконечные кардинальные числа. А множество A хотя и бесконечно, но имеет не более чем фиксированный бесконечный размер! Так что процесс этот должен где-то остановиться. Но где? На некотором собственном подмножестве B множества A? Нет, это тоже невозможно, поскольку если бы это было так, то мы просто продолжили бы процесс добавлением f(B). Так что единственное место, где он может остановиться, это само A. Следовательно, A может быть полностью упорядочено.

Ранее я упоминал некие математические сложности, изначально присущие континууму, и есть у меня одна головоломка, некоторым образом связанная с ними.

Вы ведь знаете действительную числовую прямую? Пусть нам нужно объединение открытых отрезков, или интервалов (возможно, бесконечного их числа), которое перекрывает все рациональные точки. Вопрос: обязательно ли сумма длин таких интервалов должна быть бесконечной? Казалось бы, это совершенно естественно, это первое, что приходит в голову! В конце концов, рациональные числа у нас всюду!

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Сноски

1

www.scottaaronson.com/blog. Использованное в названии блога слово штетл обозначало еврейское местечко в черте оседлости Российской империи. – Прим. пер.

2

www.youtube.com/watch?v=saWCyZupO4U. Здесь и далее примечания автора даются без дополнительных указаний.

3

www.scottaaronson.com/blog/?p=277

4

www.smh.com.au/news/technology/professor-claims-ad-agency-cribs-lecturenotes/2007/10/03/1191091161163.html

5

idle.slashdot.org/story/07/10/02/1310222/scott-aaronson-printer-shill

6

www.scottaaronson.com/blog/?p=297

7

Стандартным учебным пособием в этой области остаются «Квантовые вычисления и квантовая информация» Майкла Нильсена (Michael Nielsen) и Айзека Чуанга (Isaac Chuang).

8

T. Ito and T. Vidick, A Multi-prover Interactive Proof for NEXP Sound against Entangled Provers. In Proceedings of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (2012), pp. 243–252.

9

E. Schrödinger, What is Life? With Mind and Matter and Autobiographical Sketches, Cambridge University Press (reprinted edition), 2012.

10

У автора – «для всех» (for all). – Прим. пер.

11

Упрощая, автор использует далее как синонимы слова valid, которое описывает корректность (выводимость) логической формулы, и true, характеризующее истинность конкретного высказывания. – Прим. пер.

12

Собственным подмножеством называется подмножество, не совпадающее с самим множеством. – Прим. пер.