Георгий Гамов - Занимательная математика

• Название: Занимательная математика
• Автор: Георгий Гамов
• Издательство: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика"
• Жанр: Развлечения
• Год: 2001

Книга американского педагога Чарльза Тригга открывает новую серию «Задачи и олимпиады». В ней собраны задачи, которые при довольно сложной формулировке допускают простое и изящное решение. Среди авторов оригинальных решений — имена известных американских математиков.

Сборник рассчитан на широкий круг читателей, интересующихся математикой, особый интерес представляет для увлеченных этим предметом учащихся старших классов.

---

В этом случае нам придется прибегнуть к тому, что принято называть математической индукцией. Я только что доказал тебе, что если бы в городе было только две неверные жены, то мужья в силу чисто логической дедукции должны были бы убить их на вторую ночь после обнародования моего указа. Но предположим, что теперь неверные жены у трех моих подданных, назовем их Абдулой, Хаджибабой и Фаруком. Фарук, разумеется, знает, что жены Абдулы и Хаджибабы неверны своим мужьям, и ожидает, что Абдула и Хаджибаба убьют своих жен на вторую ночь. Но те почему-то этого не делают. Почему?

Разумеется, потому, что его, Фарука, жена изменяет ему. И Фарук пускает в ход кинжал, равно как и двое других обманутых мужей.

О великий султан! — вскричал визирь. Ты раскрыл мне глаза на всю проблему. Если бы в городе было четыре неверные жены, то каждый из четырех обманутых мужей свел бы проблему к случаю трех неверных жен и не убил бы свою жену до четвертого дня. И так далее, и тому подобное вплоть до сорока неверных жен.

— Я рад, — сказал султан, — что ты, наконец, понял суть дела.

Приятно иметь визиря, ум которого настолько превосходит уровень умственного развития среднего подданного. Но что если я поведаю тебе, что неверных жен в городе, как стало достоверно известно, в действительности сорок одна?

Казнь врасплох

За кражу каравая хлеба визирь приговорил Абдула Касима к смертной казни через повешение.

Визирь давно собирался казнить Абдула и воспользовался сущей безделицей просто как предлогом. Правда, к великой досаде визиря, по закону осужденный на смертную казнь мог в последнюю минуту обратиться к султану с просьбой о помиловании. Воззвать к милосердию владыки преступник мог только в день казни.

Не сомневаясь в том, что султан ибн-аль-Каз, узнав о смертном приговоре Абдулу, непременно отменит его, визирь придумал хитроумную уловку, позволявшую (как ему казалось) обойти закон и избежать обращения осужденного к султану с просьбой о помиловании. В присутствии Абдулы визирь сообщил начальнику тюрьмы, что тому предстоит в течение недели привести в исполнение смертный приговор, но не назначил точную дату казни, ограничившись указанием, что повесить Абдулу надлежит в течение недели, но в такой день, который застал бы его врасплох (чтобы Абдул не мог заранее знать, что его должны повесить именно в этот день).

Каждое утро ты будешь приносить Абдулу его завтрак, продолжал визирь наставлять начальника тюрьмы в присутствии осужденного. — Как я уже сказал, день казни тебе надлежит выбрать так, чтобы для Абдула он оказался совершенно неожиданным. Помни, что если ты принесешь Абдулу завтрак в день, который назначен тобой для казни, и Абдул встретит тебя заявлением, что знает о предстоящей в тот день казни и представит разумные доводы, объясняющие, как ему удалось установить день казни, то по закону ты должен немедленно передать султану прошение Абдула о помиловании. Если же в день казни ты принесешь Абдулу завтрак, а он промолчит или не сможет разумно объяснить, почему он считает, что его должны казнить именно в тот день, то Абдул лишается права на обжалование приговора, и ты можешь повесить его в тот же день в полдень.

Визирь отбыл к себе, а Абдул и начальник тюрьмы (разумеется, каждый в отдельности — Абдул в камере смертников, а начальник тюрьмы в своем рабочем кабинете) принялись ломать голову над наиболее вероятным днем казни. Для начальника тюрьмы проблема осложнялась еще и тем, что день казни ему необходимо было определить заранее, чтобы успеть распорядиться о необходимых приготовлениях.

О гнусном плане визиря, практически лишавшем Абдула права на подачу прошения о помиловании из-за неожиданности дня казни, прослышал юный принц, который поведал о нем отцу. Султан вызвал начальника тюрьмы.

— Дошло до меня, — сказал султан, — что визирь приговорил Абдула к повешенью и что приговор составлен так, что лишает Абдула возможности подать прошение о помиловании, которая предусмотрена законом. Так ли это?

Так, о великий султан, признал начальник тюрьмы, но поверь, я не имею к вынесению приговора никакого отношения. Более того, Абдул мне очень симпатичен, и я был бы счастлив сделать все, что в моих силах, чтобы помочь ему, но, как ты понимаешь, руки мои связаны.

— Я вижу, — заметил султан, — ты человек весьма ученый.

— О нет, великий султан. Мне случалось читать сочинения мудрецов и я очень люблю логику, в которой они так сильны, но я лишь в меру своего слабого разумения пытаюсь постичь смысл их теорий и еще очень многого не знаю.

— Самое интересное у тебя еще впереди, — заверил султан начальника тюрьмы. — А известен ли тебе принцип конечной индукции?

— Известен, о великий султан.

— Прекрасно, но оставим его на миг и вернемся к несчастному Абдулу. Выбрал ли ты день казни?

— Пока еще не выбрал. Продолжаю размышлять над тем, как это можно было бы сделать лучше всего.

— Насколько я понимаю, — продолжал султан, — ты можешь повесить Абдула только в один из дней назначенной визирем недели — от воскресенья до воскресенья. Вот мне и хотелось бы узнать, можешь ли ты отложить казнь Абдула на последний день недели, т. е. повесить его в субботу?

Начальник тюрьмы поразмыслил немного и медленно ответил:

Нет. Думаю, что не могу. Видишь ли, о великий султан, Абдул человек умный. Поскольку ему известно, что казнь должна быть неожиданной, он, дожив до утра субботы, встретит меня, когда я принесу ему завтрак, словами:

— Я знаю, начальник, что ты собираешься повесить меня сегодня, так как сегодня — последний из дней той недели, в течение которой меня должны повесить.

И это действительно было бы так, продолжал начальник тюрьмы. — Ведь если бы он дожил до утра субботы, последнего из дней недели, в течение которой я должен его повесить, то заведомо знал бы, что казнь должна свершиться только в тот день, и встретил бы меня заявлением об этом. И тогда Абдул обрел бы право на прошение о помиловании.

— Понимаю, — кивнул султан. — Согласен, что, зная условия приговора, и ты, и Абдул должны были догадаться, что казнь не может состояться в субботу.

Ты прав, о верткий султан, подтвердил начальник тюрьмы слова владыки. — Приговор составлен так, что я могу повесить Абдула только в один из дней с воскресенья по пятницу. В субботу казнь никак не может состояться.

— А это означает, — продолжал султан, — что и ты, и Абдул можете преспокойно вычеркнуть субботу из своих календарей. Ты мог бы привести приговор в исполнение только с воскресенья по пятницу, и таким образом, пятница — последний из дней недели, когда Абдул мог бы быть повешен.

— Ты прав, как всегда, — не мог не признать начальник тюрьмы.

А мог бы ты отложить казнь до пятницы? поинтересовался султан.

Поразмыслив, начальник тюрьмы ответил:

— Думаю, что не мог бы. Так как и Абдул и я знаем, что пятница — последний день, когда его можно повесить, то если бы Абдул дожги до утра пятницы, он непременно встретил бы меня заявлением, что его казнят сегодня.

— Я тебя понял, — кивнул султан. — Ты хочешь сказать, что можешь повесить Абдула только в один из дней с воскресенья по четверг и что Абдул не может не понимать этого?

— Безусловно, с уверенностью ответил визирь.

— Но коль скоро это так, — продолжал султан, — и четверг становится последним днем недели, когда может свершиться казнь, то не можем ли мы, продолжив то же самое рассуждение, исключить и четверг?

— Разумеется, можем, — воскликнул начальник тюрьмы. — Тогда последним днем недели, когда может свершиться казнь, станет среда, которую в свою очередь также придется исключить, и так станет с любым из остальных дней недели. Следовательно, привести смертный приговор Абдулу в исполнение невозможно!

Поистине мы имеем дело с применением принципа конечной индукции. То, что мы действительно доказали, сводится к следующему: в последний из дней недели, в который можно казнить Абдула, казнить Абдула автоматически становится невозможным.

— Ты прав, — смеясь, подтвердил султан. — А из доказанного следует, что осужденного невозможно казнить врасплох не только в течение недели, не и в течение любого конечного числа дней. Какое счастье, однако, что и ты, и Абдул обладаете одинаково острым разумом. Если любой из вас не понял, к чему приводит принцип конечной индукции, то он не сработал бы на практике.

Второе испытание Абдула[4]

Едва успев благополучно выпутаться из предыдущей истории, Абдул снова попал в беду. На этот раз его обвинили в торговле рабынями на черном рынке, недавно строжайше запрещенной султаном ибн-аль-Казом. На этот раз Абдул предстал перед судом присяжных — новинкой, введенной просвещенным властителем Квазиабабии, стремившимся превратить свою страну в современное государство. При вынесении вердикта мнения присланных, шести мужчин и шести женщин, разделились: все шесть женщин сочли Абдулу виновным и потребовали для него смертной казни, а все шесть мужчин склонились к мнению «невиновен».