Георгий Гамов - Занимательная математика

• Название: Занимательная математика
• Автор: Георгий Гамов
• Издательство: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика"
• Жанр: Развлечения
• Год: 2001

Книга американского педагога Чарльза Тригга открывает новую серию «Задачи и олимпиады». В ней собраны задачи, которые при довольно сложной формулировке допускают простое и изящное решение. Среди авторов оригинальных решений — имена известных американских математиков.

Сборник рассчитан на широкий круг читателей, интересующихся математикой, особый интерес представляет для увлеченных этим предметом учащихся старших классов.

---

Выслушав присяжных, судья вынес решение, что судьбу Абдула — жить ему или умереть — должен решить с равными шансами на жизнь и на смерть случай — шар, извлекаемый наугад из урны. Для вынесения приговора столь необычным методом в суд были доставлены две большие урны с двадцатью пятью белыми и двадцатью пятью черными шарами в каждой. Подсудимому должны были завязать глаза, предложить вытянуть руки и, выбрав наугад одну из урн, извлечь из нее шар.

Черный шар означал смерть, белый — жизнь. Урны долго переставляли, а шары тщательно перемешали.

— О великий судья. — воскликнул Абдул, падая на колени перед скамьей, на которой восседал судья. — Молю тебя исполнить мою последнюю просьбу. Позволь перед тем, как мне завяжут глаза, по-своему переложить шары из урны в урну. После этого я готов вслепую выбрать урну и извлечь из нее шар.

— Может ли это увеличить шанс преступника избежать наказания о великий визирь? — почтительно обратился судья к сидевшему с ним рядом визирю.

— Не думаю, — ответствовал визирь, считавший себя большим знатоком по части математических проблем. — Всего имеется пятьдесят черных шаров и пятьдесят белых шаров, а поскольку подсудимый будет извлекать шар вслепую, шансы извлечь черный или белый шар остаются прежними, как бы он ни перекладывал шары из урны в урну или ни распределял шары по любому числу урн.

— В таком случае, — решил судья, — раз перекладывание шаров ничего не меняет, почему бы нам не исполнить последнюю просьбу подсудимого? Это следует сделать хотя бы для того, чтобы продемонстрировать нашему великому султану, что вновь назначенный им суд в соответствии с пожеланиями нашего владыки придерживается либеральных тенденций при вынесении приговоров.

— Будь по-твоему, — разрешил судья Абдулу, все еще стоявшему перед ним на коленях. — Можешь перекладывать шар, как сочтешь нужным.

Поднявшись с колен и подойдя к столу, на котором стояли урны, Абдул приступил к делу. Сначала он пересыпал все шары из одной урны в другую, а затем, выбрав один белый шар, переложил его в первую (пустую) урну. Эта нехитрая операция повысила его шансы остаться в живых с 50 %: почти до 75 %. После того как ему завязали глаза, он с вероятностью 50 % мог выбрать урну с одним белым шаром, а если бы он выбрал другую (те ту») урну, то у него все же было бы 49 из 99 шансов (т. е. почти 50 %) извлечь из нее не черный, а белый шар.

История умалчивает о том, позволило ли Абдулу такое увеличение благоприятных шансов спасти свою жизнь.

Скачки наоборот

Однажды в солнечный день (как, впрочем, все дни в той части земного шара) один англичанин сидел на камне посреди пустыни во владениях султана ибн-аль-Каза. Он умирал от скуки, так как делать ему было абсолютно нечего, хотя денег у него в карманах было достаточно для того, чтобы заплатить за любое развлечение. И когда англичанин к великому своему удовольствию увидел проезжавших мимо верховых бедуинов, он знаком попросил их приблизиться.

— Друзья, — обратился к бедуинам англичанин, показывая им сверкающую на солнце золотую гинею, — не окажите ли вы мне любезность проскакать вон до той пальмы. Тот, чья лошадь придет последней, получит в награду эту золотую монету.

Чья лошадь придет последней? — воскликнули бедуины, которые оба знали английский.

Именно! И понимаю, что условие состязания необычно, но такова моя прихоть. А теперь — внимание, на старт, марш!

Желая получить в награду золотую гинею, бедуины пустились было к видневшейся вдалеке пальме, но поскольку каждый из них стремился сдержать свою лошадь, оба всадника почти не двигались с места.

Когда оба бедуина уже были готовы отказаться от участия в состязании, перед ними внезапно возник дервиш. Оба всадника спрыгнули с коней и распростерлись перед ним на горячем песке пустыни.

— Что вас тревожит, дети мои? — спросил дервиш низким голосом.

И бедуины объяснили ему необычное условие скачек.

— Может быть, нам нужно разделить приз между собой или условиться, что тот, кто выиграет скачку, если его лошадь придет последней, отдаст золотую гинею другому, — предложил один из бедуинов.

О нет! возразил дервиш. Нужно быть честным во всех своих деяниях, даже если речь идет об уговорах с англичанами. Вам нужно просто… — и дервиш прошептал свой совет бедуинам.

— Да благословит тебя Аллах! воскликнули бедуины, вскочили в седла и пришпорили лошадей.

Быстрее ветра они понеслись к пальме. Судьба скачек была решена в считанные минуты, и англичанину пришлось уплатить гинею победителю. Что посоветовал дервиш бедуинам?

Дервиш дал бедуинам очень простой совет: поменяться лошадьми.

2. Сэм-Игрок

Карточки в шляпе

Объяснить в два слова, кто таком Сэм-Игрок, проще всего, назвав его «живым компьютером».

Способность Сэма честно зарабатывать свой хлеб основана на его непостижимой способности оценивать шансы на выигрыш и проигрыш в любой азартной игре, которая когда-либо была изобретена человеком. Разумеется, умение Сэма молниеносно подсчитывать шансы «за» и «против» целиком опирается на его замечательную память и отнюдь не свидетельствует о его аналитических способностях.

Другая отличительная черта Сэма-Игрока — его доброе отзывчивое сердце. Матери Сэма-младшего Сэм-старший дал слово, что сын вырастет уважаемым человеком. И Сэм-Игрок сдержал свое обещание. Он рассудил, что Сэм-младший должен хотя бы частично унаследовать способности отца просчитывать комбинации. А что, скажите на милость, в наши дни может пользоваться большим уважением, чем математик, способный производить сложнейшие расчеты?

И Сэм-младший был отправлен в колледж. Правда, по окончании колледжа он мог бы до конца жизни ездить на работу и с работы в городском автобусе, а не за рулем собственного «кадиллака», как Сэм-старший. И хотя у Сэма-младшего могло появиться немало умных книг, он вполне мог так и не обзавестись маленькой черной записной книжечкой с именами и адресами всех хористок в городе. Но главное было бы достигнуто: Сэм-младший непременно стал бы уважаемым человеком.

Нужно сказать, что Сэм-старший очень гордился своими профессиональными способностями. Когда Сэм-младший был на последнем курсе колледжа, Сэм-старший узнал из беседы с сыном, что современные физики широко используют во многих вычислениях методы теории вероятностей. Желая показать сыну, что и по части новой для него теории он многих заткнет за пояс, Сэм-Игрок написал обширный трактат, чтобы продемонстрировать свое искусство в вычислении вероятностей.

Сэм-младший попытался было объяснить отцу, что теория вероятностей далеко не исчерпывается вычислением вероятностей и что в ней разработаны весьма тонкие математические методы.

Сэм-младший усомнился даже в том, понимает ли Сэм-старший по-настоящему глубоко фундаментальные принципы теории вероятностей даже в простейших случаях вычисления благоприятных и неблагоприятных шансов, в чем Сэм-старший мнил себя непревзойденным знатоком.

— Рассмотрим в качестве примера, — предложил Сэм-младший, — хотя бы следующую игру. Я кладу в шляпу три карточки: одну красную с обеих сторон, одну белую с обеих сторон и одну красную с одной стороны и белую с другой.

Предположим, что я извлекаю из шляпы одну карточку. Вынутая мной карточка обращена к нам красной стороной, какого цвета у нее другая сторона, мы не знаем.

— Ты хочешь, чтобы я догадался, какого цвета другая сторона? — спросил Сэм-Игрок.

— Совершенно верно, — согласился Сэм-младший. — Точнее говоря, ты должен сообщить мне, какова вероятность того, что у вынутой мною карточки другая сторона красная. Раз у вынутой мной карточки одна сторона красная, то она может быть только одной из двух карточек: либо красно-красной, либо красно-белой. Ты согласен?

— Согласен.

— Вот я и спрашиваю, какова вероятность того, что извлеченная мной карточка оказалась красно-красной? — заявил Сэм-младший.

Мог бы придумать задачу и посложнее, проворчал Сэм-старший. Простота предложенной сыном задачи вызывала у него отвращение. Ты мог извлечь из шляпы только две карточки, поэтому вероятность того, что у тебя в руке красно-красная карточка, равна одной второй.

— Я знал, что ты так и скажешь, — кивнул Сэм-младший, — но твой ответ неверен!

— Подумать только! И для этого твоя мать хотела, чтобы я послал тебя учиться в колледж! воскликнул Сэм-старший. — Уж не думаешь ли ты, что разбираешься в вероятностях лучше моего? Чтобы оценивать шансы «за» и «против», никакой математики не требуется.

Необходим лишь здравый смысл.

— Не сердись, — терпеливо увещевал разбушевавшегося родителя Сэм-младший. — Все дело в правильном определении вероятности.