Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

• Название: Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике
• Автор: Луис Арталь
• Жанр: Математика

Книга посвящена использованию математики в экономике и анализу роли точных наук в экономическом развитии.

Авторы рассказывают об основных математических инструментах, используемых в экономическом анализе. Их цель — помочь читателю научиться принимать верные решения в вопросах, касающихся инвестирования, размещения сбережений и кредитования.

Создатели книги затрагивают такие важные темы, как производство и рынок, спрос и предложение, международная торговля, ценообразование, рынок капитала и фондовые биржи. Безусловно, этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

---

Коэффициент оборачиваемости активов = Выручка/Общие активы

Значение этого коэффициента, превышающее 1, указывает, насколько выручка превышает величину активов.

% роста продаж = ((Продажи Vn/Продажи Vn-1) — 1)∙100 между периодами n — 1 и n.

Технический анализ

Технический анализ заключается в изучении того, как меняется стоимость различных финансовых активов, в частности ценных бумаг, индексов, опционов, фьючерсов, валют и других, посредством статистического анализа и анализа графиков, чтобы предсказать поведение рынка в будущем. Для этого требуется не только изучить изменение курсов ценных бумаг с течением времени с помощью графиков (к ним относятся «японские свечи», столбчатые диаграммы, пункто-цифровые графики и т. д.), но и выполнить подбор аппроксимирующей кривой с помощью методов регрессии, позволяющих связать значение цены со значениями других переменных и спрогнозировать будущие значения цен с достаточной достоверностью. В основе технического анализа лежат три принципа: история повторяется, в изменениях цен прослеживаются тренды, в изменении рыночных цен отражается вся информация о деятельности предприятия, макроэкономические параметры и т. д.

* * *

ТЕОРИЯ ДОУ

Первым начал анализировать колебания рыночных цен и заложил основы технического анализа американец Чарльз Генри Доу (1851–1902), разработавший в 1884 году первый биржевой индекс. Это его именем назван знаменитый биржевой индекс Доу-Джонса. На основе графического анализа поведения индексов он разработал теорию о колебаниях рыночных цен, выделив три тренда: первичный (долгосрочный), вторичный (промежуточный) и малый (краткосрочный).

Первичный тренд относится к долгосрочному периоду (от одного года до трех лет за исключением определенных ситуаций) и может быть восходящим или нисходящим. После периода снижения цен группа инициативных инвесторов решает вложить средства в ценные бумаги. С ростом котировок к ним присоединяются другие инвесторы, в то время как самые первые инвесторы продают свои ценные бумаги и остаются в выигрыше. По прошествии определенного времени, поняв, что рост цен замедляется, инвесторы постепенно прекращают инвестирование, и начинается период застоя, который сменяется падением цен.

Первичный тренд сроком три года.

Вторичный тренд описывает период продолжительностью от одной до восьми недель. Эти более короткие циклы накладываются на долгосрочные колебания и проявляются как незначительное снижение цены в период роста или как повышение цены в период падения котировок.

Вторичный тренд сроком два месяца.

Малые тренды описывают периоды длительностью не более нескольких дней и являются следствием воздействия со стороны спроса или предложения в данный момент.

Малый тренд сроком два дня.

* * *

Ральф Нельсон Эллиотт (1871–1948) позднее дополнил теорию Доу, описывающую поведение рынка ценных бумаг. Он заметил, что котировки изменяются в соответствии с определенными шаблонами. Эллиотт определил волны, по своему поведению схожие с числами Фибоначчи — числовым рядом, каждый член которого равен сумме двух предыдущих. В 1946 году, изучив значения промышленного индекса Доу-Джонса (DJIA), он изобразил эти волны на графике.

На основании полученного графика Эллиотт сделал вывод: в колебаниях цен прослеживаются повторяющиеся волны различной длительности и амплитуды колебаний. Волновой принцип Эллиотта гласит, что на рынках ценных бумаг наблюдается повторяющийся ритм: пять волн идут в направлении тренда, три волны — против тренда. Полный цикл состоит из восьми волн — пяти восходящих и трех нисходящих. В рамках цикла волны 1, 3 и 5 являются движущими (импульсными), 2 и 4 — коррекционными, они компенсируют эффект от волн 1 и 3. Пять восходящих волн сменяются тремя нисходящими, А, В и С. В период снижения курсов акций на рынке также наблюдаются кривые, схожие с пятью волнами, описанными выше.

Как можно видеть, на графиках биржевых котировок реальных ценных бумаг действительно можно заметить волны Эллиотта.

Если рассматривать волны Эллиотта как отражение психологии поведения участников рынка, которое вызывает значительные колебания биржевых котировок, то вполне логично предположить, что эти волны можно описать именно числами Фибоначчи.

Эллиотт утверждал, что для описания рынков ценных бумаг применимо и золотое сечение. Таким образом, изменение котировок подобно логарифмической спирали, по форме напоминающей раковину улитки или облако в урагане. Говоря проще, можно предсказать, что по окончании периода роста наступит период снижения, длительность и амплитуда которого будут составлять 3/5 длительности и амплитуды периода роста.

Было отмечено, что изменение цен на основные товары также описывается волнами Эллиотта, — это можно заметить на примере такого товара, как золото: в последнее время его цена неизменно движется в направлении, противоположном биржевому тренду, следовательно, оно также следует волнам Эллиотта, но в противоположном направлении.

* * *

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И БИРЖА

Изучив изменения котировок на многих рынках ценных бумаг, Эллиотт определил, что в основе теории волн лежит последовательность Фибоначчи, открытая еще в XIII веке! Эта последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …) обладает многими свойствами, применимыми к биржевому анализу.

Сумма любых двух соседних членов последовательности равна ее следующему члену, отношение любого члена последовательности к следующему стремится к иррациональному числу Ф — 1–0,618034 … (где Ф — так называемое золотое число, описывающее золотое сечение), которое часто встречается в природе и произведениях искусства. Таким образом, когда коррекционная волна достигает 61,8 % прежней величины индекса, наступает поворотный момент: рыночный тренд либо сменится на противоположный, либо сохранит направление, и индекс достигнет 100 % от прежнего значения.

Квадратные корни, которые не являются целыми или рациональными числами, относятся к новому, отдельному классу так называемых иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде дроби. Эти числа содержат бесконечное множество десятичных знаков и, в отличие от рациональных чисел, в их записи отсутствуют циклы, или периоды, как, например,

4/7 = 0,571428571428571428571…

Примерами иррациональных чисел являются число π, число е, используемое при расчете сложных процентов, и золотое число Ф.

Как рассчитывается рентабельность инвестиций на бирже

При эмиссии государственных облигаций покупатель совершает начальные вложения, а затем в течение срока действия облигации получает доход. Чтобы вычислить общую рентабельность за весь срок владения облигацией, рассчитывается внутренняя норма доходности, причем в качестве доходов учитываются и налоговые вычеты.

При эмиссии облигаций с переменной процентной ставкой общая рентабельность обычно рассчитывается по формуле чистого дисконтированного дохода на основе примерной цены денег (процентной ставки). Этот же метод используется для оценки прибыльности предприятия, когда денежные потоки за каждый год приводятся к текущему моменту времени с учетом объема начальных вложений и определенной ставки дисконтирования.

Рассмотрим расчет годовой рентабельности инвестиций. В момент времени t была совершена инвестиция в размере I0, по прошествии n дней акции были проданы за It, причем I0 < It. Общий доход В в результате инвестирования равен разнице курсов акций |It — I0| > 0 вкупе с дивидендами, правом подписки на акции и т. д.

Рентабельность инвестиций R (в %) будет равна:

R = (B/I0)∙100

Рентабельность за год Ra рассчитывается по правилу пропорции:

рентабельность R за срок в ___ n дней

рентабельность R за срок в ___ 365 дней

Ra = R∙(365/n)

Часто при оценке доходности ценных бумаг используется показатель PER (коэффициент цена/прибыль), который связывает цену приобретения бумаги Сt  с полученными или ожидаемыми доходами от нее за период t (дивиденды, ожидаемая положительная курсовая разница и т. д.):