Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

• Название: Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике
• Автор: Луис Арталь
• Жанр: Математика

Книга посвящена использованию математики в экономике и анализу роли точных наук в экономическом развитии.

Авторы рассказывают об основных математических инструментах, используемых в экономическом анализе. Их цель — помочь читателю научиться принимать верные решения в вопросах, касающихся инвестирования, размещения сбережений и кредитования.

Создатели книги затрагивают такие важные темы, как производство и рынок, спрос и предложение, международная торговля, ценообразование, рынок капитала и фондовые биржи. Безусловно, этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

---

PER = Ct/Gt = Цена акции/ Чистая прибыль (на акцию)

где Ct — стоимость бумаги, Gt — ожидаемая прибыль от нее за период t.

Обратите внимание, что показателем, обратным этому коэффициенту, является рентабельность акции:

Рентабельность акции = Чистая прибыль (на акцию)/Цена акции = 1/PER

Чаще всего используются следующие коэффициенты, показывающие финансовые итоги в пересчете на акцию:

Дивидендная доходность = Общие дивиденды/Рыночная капитализация = Дивиденд на одну акцию/Курс акции

где

Дивиденд на акцию = Прибыль после уплаты налогов/Количество акций

если прибыль после уплаты налогов полностью распределяется между акционерами.

Если же в виде дивидендов выплачивается лишь часть прибыли, то важен коэффициент, показывающий, какая именно доля прибыли направлена на уплату дивидендов.

Дивиденды могут рассчитываться на основе учетной стоимости акций, их рыночной или номинальной стоимости.

Коэффициент, связывающий денежный поток предприятия (чистый доход = прибыль + амортизация) с числом акций:

Денежный поток на акцию = (Прибыль + амортизация)/Количество акций

Индикатор β показывает уровень риска, связанный с вложением в определенные ценные бумаги, и характеризует волатильность котировок ценной бумаги. Если коэффициент β равен n, это означает, что доходность волатильной ценной бумаги в n раз больше доходности по индексу или по всем ценным бумагам на рынке. Так, если β = 2, а средняя доходность ценных бумаг на рынке равна 10 %, то доходность рассматриваемой ценной бумаги составит 20 %.

Риск измеряется путем сравнения доходности ценной бумаги и всех бумаг на рынке, при этом ее доходность будет отклоняться от среднерыночной. Эти отклонения оцениваются с помощью среднеквадратического отклонения σ или дисперсии, равной σ2. Если средняя доходность по рынку равна R, а доходность ценной бумаги i равна Ri, то риск, рассчитанный с помощью среднеквадратического отклонения, будет равен:

Также можно использовать полудисперсию, то есть дисперсию, в которой учитываются только отрицательные отклонения, характеризующие риск потери средств.

Корреляция и регрессия

В экономике часто существует взаимосвязь между произвольными переменными — ковариация. Считается, что между двумя статистическими переменными существует ковариация, если между ними наблюдается однонаправленная причинно-следственная связь (значения переменной X влияют на значения Y, но не наоборот) или взаимозависимость (значения X влияют на значения Y и наоборот).

Изучение ковариации между двумя статистическими переменными можно начать с графических методов. На следующих диаграммах представлено множество точек, соответствующих парам значений переменных, для которых мы хотим определить наличие ковариации. Эта диаграмма называется диаграммой рассеяния.

Положительная линейная корреляция.

Отрицательная линейная корреляция.

Отсутствие корреляции.

Существуют два метода анализа ковариации между двумя статистическими переменными: регрессия и корреляция. При анализе корреляции рассчитывается числовой коэффициент, который используется как индикатор степени ковариации между двумя переменными, а при регрессионном анализе определяется математическая функция, описывающая ковариацию для всех значений переменных.

Вывод коэффициента корреляции для всей генеральной совокупности на основе анализа выборки, который обозначается R, выполняется на основе коэффициента корреляции r, рассчитанного для выборки. Этот процесс подробно изучен. По сути, r можно рассмотреть как оценочное значение R и проанализировать, действительно ли оно является точным оценочным значением. Выборки из одной и той же генеральной совокупности можно формировать множеством способов, и коэффициент корреляции на каждой выборке будет отличаться. Коэффициенты корреляции r для всех возможных выборок являются значениями случайной величины, которая характеризуется собственным распределением.

* * *

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Чтобы подтвердить исходное предположение, что между двумя переменными наблюдается корреляция (к такому выводу можно прийти, взглянув на диаграмму рассеяния), рассчитаем коэффициент корреляции. Для выборки из n пар значений (хi, уi) при i = 1, 2, 3…., n показателем линейной связи между переменными является r — линейный коэффициент корреляции,

где х¯, у¯, σх, σу — средние значения и среднеквадратические отклонения, рассчитанные для переменных X и Y на выборке. Значения коэффициента корреляции r всегда находятся в интервале от -1 до 1. Если r = 1 или r = -1, то все точки, соответствующие выборке, лежат на одной прямой. Если значение r близко к 1 (или к -1), то между двумя переменными имеется очень сильная линейная зависимость. Если значение r мало (близко к 0), то зависимость между двумя переменными практически отсутствует, за исключением случаев, когда на основе диаграммы рассеяния можно сделать вывод о наличии нелинейной корреляции.

Коэффициент r — безразмерная величина, не зависящая от единиц измерения значений X и Y.

В следующей таблице представлены значения двух статистических переменных, X и Y, на выборке объемом в пять значений

Диаграмма рассеяния.

Для анализа корреляции рассчитывается среднее х, среднеквадратическое отклонение σ и коэффициент r.

ЛИНИИ РЕГРЕССИИ

Если точки (х, у) на диаграмме рассеяния расположены близко к некоторой прямой или кривой, то можно определить функцию, которая с наибольшей точностью будет описывать это множество точек. Графиком указанной функции будет линия регрессии, которую можно будет использовать для составления прогнозов.

Математический метод, используемый для определения функции, которая точнее всего описывает множество значений выборки, называется методом наименьших квадратов.

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения а и Ь. Допустим, что эти значения равны, например, а' и Ь'. В этом случае уравнение искомой прямой будет записываться так: у = а'х + Ь'. Для приведенных ниже таблицы значений и диаграммы рассеяния линия регрессии рассчитывается следующим образом:

Уравнение линии регрессии, описывающей зависимость Y от X, выглядит так: y = (11/14)∙x + (6/7). Чтобы найти линию регрессии, описывающую зависимость Y от X, хi меняется на уi, результатом чего будет следующая система уравнений (чтобы избежать путаницы, заменим а и Ь на с и d):

Результатом будет прежнее уравнение: y = (11/14)∙x + (6/7). В большинстве случаев это уравнение будет отличаться от первого. В нашем случае между Х и Y имеется взаимозависимость.

* * *

Следует различать корреляцию и причинно-следственную связь: при изучении, например, трех переменных (к примеру, числа выпущенных книг, количества проданных телевизоров и численности убийств в год) можно сделать совершенно ошибочные выводы (к примеру, чем больше продается книг, тем больше продается телевизоров и тем больше совершается преступлений).

Глава 7. Экономический рост и развитие

В экономическом анализе выделяют два крупных направления: микроэкономический анализ, в котором экономические переменные рассматриваются на уровне отдельных потребителей, домохозяйств и предприятий, и макроэкономический, где эти же переменные изучаются на более высоком уровне. Так, изучение цен, стоимости производства и объемов продаж предприятия, анализ доходов отдельных людей, домохозяйств и уровень потребления, рассмотрение потребительских предпочтений и объемов продаж товара по определенной цене относятся к микроэкономике. Анализ совокупной деятельности всех предприятий сектора экономики, касающийся как уровня производства, так и уровня занятости, а также анализ общего уровня цен и совокупного спроса и предложения относится к макроэкономике. К макроэкономическому анализу относятся анализ уровня производства в стране, уровня совокупного спроса и предложения, импорта и экспорта, сбережений, инвестиций, государственных расходов, уровня инфляции и т. д.