Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

• Название: Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
• Автор: Франсиско Мартин Касальдеррей
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0711-3

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

---

Если мы рассмотрим эту трапецию, обозначенную на картине белыми линиями, то нам покажется, что она будто наклонена к нам. Анаморфированное изображение картины будет вписано в трапецию.

Деформированное изображение картины «Оборона Кадиса против англичан», какой ее видит наблюдатель.

(источник: FMC)

Благодаря программам обработки изображения выполнить это преобразование несложно. Получив требуемое изображение с помощью одной из этих программ, мы сможем представить, какой эта картина выглядела в глазах зрителя, проходившего по Залу королей дворца Буэн-Ретиро. Она казалась бы ему примерно такой, как показано на иллюстрации:

Анаморфированное изображение картины «Оборона Кадиса против англичан». Именно так эту картину видели зрители, когда она располагалась на изначально задуманном месте.

Персонажи изменились внешне и не кажутся короткоголовыми и полными, фон обрел глубину и реалистичность. Теперь он действительно похож на реальный пейзаж, а не театральную декорацию. Всё встало на свои места и обрело должные пропорции.

Допускаем, что читатель может отнестись ко всему этому скептически. Действительно ли Сурбаран проводил подобные расчеты, когда создавал картину? Думаем, что на этот вопрос мы вполне можем ответить утвердительно. Похожие расчеты провел либо сам Сурбаран, либо художник, ответственный за украшение Зала королей, либо, возможно, Веласкес. Кто-то из них рассчитал искажения, которые требовалось внести в картину, чтобы она казалась реалистичной при взгляде из центра зала. Картина Сурбарана — не единственный пример анаморфоза в живописи.

В известнейшей картине Веласкеса «Сдача Бреды» использован тот же принцип, пусть и не столь явно.

«Оборона Кадиса» располагалась в конце длинной стены Зала королей, поэтому она несколько уже, чем «Сдача Бреды». Угол наклона боковых сторон трапеции зависит не от ширины картины, а исключительно от ее высоты. Боковые стороны трапеции наклонены под одним углом на обеих картинах, и поскольку «Сдача Бреды» шире, то искажения не столь заметны невооруженным глазом. Наконец, Остин Нассауский и сам Амброзио Спинола в центре картины Веласкеса изображены в поклоне, благодаря чему видимые искажения уменьшаются. Копья испанской армии, удачно использованные в композиции, также уменьшают искажения, однако если мы применим к этой картине то же преобразование, что и к «Обороне Кадиса», то увидим, что изображение станет более реалистичным.

Как отмечалось выше, из всех помещений дворца Буэн-Ретиро сохранился лишь Касон дель Буэн-Ретиро, сады и северное крыло, в котором находится Зал королей.

До недавнего времени в нем располагался Военный музей. Ожидается, что в будущем, когда Зал королей будет отреставрирован и станет частью музея Прадо, он снова будет сверкать, как во времена Филиппа IV, и батальные полотна займут свое прежнее место. Так зрители смогут увидеть то же, что смогли увидеть мы с помощью математических преобразований.

Анаморфоз и другие искажения

По определению, анаморфоз — это конструкция, созданная таким образом, что в результате оптического смещения некая форма, недоступная поначалу для восприятия, складывается в легко прочитываемый образ. Следовательно, анаморфоз — это проекция или перспектива, на которую нужно смотреть с помощью особого устройства, например цилиндрического или конического зеркала, либо с определенной точки. Только в этом случае изображение примет требуемый вид. С помощью компьютера можно исказить изображение так, что, взглянув на него в цилиндрическое зеркало, мы увидим исходное изображение. Используем в качестве примера обложку книги.

Преобразуем изображение так, что оно будет принимать исходный вид в цилиндрическом зеркале диаметром 35 мм под углом зрения в 45°. Результат вы можете видеть на иллюстрации внизу слева. Если мы правильно расположим зеркало, то получим изображение, показанное на рисунке справа.

То, что сегодня легко выполняется с помощью компьютера, ранее производилось путем разбиения картины на квадраты и преобразования каждого квадрата в сектор кольца.

* * *

ИЗВЕСТНЕЙШИЙ АНАМОРФОЗ ВСЕХ ВРЕМЕН

Известнейший пример анаморфоза в живописи — это, несомненно, «пятно», изображенное в нижней части картины «Послы» Ганса Гольбейна Младшего.

Ганс Гольбейн Младший. «Послы» (1533). Лондонская национальная галерея.

Эта картина изобилует символами, связанными с математикой. Персонажами картины являются Жан де Дентвиль (слева), в то время посол Франции в Англии, который выступил заказчиком картины, и Жорж де Сельв, епископ Лавура и друг Дентвиля, разделявший его увлечение математикой. Сельв также был послом в Священной Римской империи, Венеции и Ватикане, поэтому картина известна под названием «Послы». В центральной части картины изображено множество предметов, указывающих на увлечения персонажей. Эти предметы символизируют арифметику, геометрию, музыку и астрономию, составлявшие так называемый квадривиум, и грамматику, диалектику и риторику, из которых состоял так называемый тривиум. Дисциплины, входившие в тривиум и квадривиум, именовались «семь свободных искусств». Однако наибольшее внимание зрителя привлекает пятно на полу. Оно словно висит в воздухе и выбивается из общей картины. Это пятно является примером анаморфоза: достаточно наклониться и посмотреть на картину искоса, и это пятно примет форму человеческого черепа, который изображен в столь странной анаморфической перспективе.

При взгляде под правильным углом «пятно» превращается в человеческий череп.

* * *

Веласкес и абстрактное пространство

Обратим наш математический взгляд на картину «Пабло де Вальядолид», созданную Диего Веласкесом в 1633 году, которая также хранится в музее Прадо. Пабло де Вальядолид (1587–1648) был придворным актером, и на картине Веласкеса он изображен в одной из своих ролей.

Диего Веласкес. «Пабло де Вальядолид» (1633). Музей Прадо, Мадрид.

Великий французский художник Эдуард Мане, посетив Испанию в 1865 году, был очарован совершенством картины и сказал: «Возможно, самым удивительным произведением живописи из когда-либо созданных является «Портрет знаменитого актера времен Филиппа IV» (Пабло де Вальядолид). Фон исчезает. Человека, одетого в черное и полного жизни, окружает воздух».

Любой, кто посмотрит на эту картину математическим взглядом, сначала будет удивлен и озадачен подобно Мане. Где находится Пабло де Вальядолид? В каком пространстве?

Представление о пространстве

Представление о пространстве, которое является одним из важнейших элементов западной культуры, возникло в Древней Греции. Выделить путем наблюдения отдельные предметы и, абстрагировавшись от них, сформулировать «идею» в том смысле, который придавал этому слову Платон, непросто, но этот процесс доступен для понимания. Так, когда ребенок учится говорить, он постепенно узнает всё новые и новые слова. Он получает представление о том, что такое, например, стол, замечая столы разных форм и размеров. Увидев какой-то конкретный стол, например традиционный с четырьмя ножками, вскоре ребенок понимает, что число ножек не имеет значения, ведь существуют столы с одной, тремя, четырьмя и более ножками и вовсе без них, например прикрепленные к стене. Он абстрагируется от формы поверхности стола, которая необязательно представляет собой прямоугольник, — это может быть круг, квадрат или треугольник. Он также понимает, что поверхность стола необязательно должна быть горизонтальной: например, школьная парта — это тоже стол, но его поверхность наклонена, чтобы было удобнее писать.

Говоря математическим языком, дать определение означает выделить из множества всех объектов некое подмножество по некоторому критерию. Используя этот критерий, при взгляде на любой предмет мы сможем определить, принадлежит он этому подмножеству или нет. Поэтому дать определения предметам непросто, и именно поэтому эта задача представляет такой интерес. Для этого достаточно рассмотреть простой вопрос: «Что такое стол?». Первая попытка, скорее всего, окажется неудачной, так у нас не получится дать определение сразу всем возможным столам. Если мы продолжим попытки, то увидим, что нам потребуется определить, какие свойства являются определяющими для стола, а какие нет; какими свойствами обладают все столы, а какими — только некоторые. В попытках дать ответ на этот вопрос мы начинаем рассуждать в терминах математической логики и формулируем абстракцию. И, как мы уже сказали, само понятие определения по своей сути является математическим.