Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

• Название: Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
• Автор: Франсиско Мартин Касальдеррей
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0711-3

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

---

Абстрагирование, в процессе которого мы переходим от конкретных предметов к общим понятиям, сравнительно ясно, однако понимание таких концепций, как «пространство», выглядит совершенно иначе. Здесь речь идет не о предметах, а о том, что их содержит. И действительно, возможно, основной характеристикой пространства является его способность содержать предметы. Следовательно, пространство связано с такими понятиями, как «дом», «храм», и представляет собой хранилище всего осязаемого, воспринимаемого с помощью органов чувств.

Тем не менее понятия, связанные с осязаемым и воспринимаемым напрямую, постигаются с помощью органов чувств, пассивно. Напротив, чтобы понять, что такое пространство, необходимо действовать активно, рационально, то есть математически. Поэтому неудивительно, что понятие пространства возникло одновременно с другими математическими понятиями, вероятно в VI веке до н. э., усилиями пифагорейцев.

Это понятие неразрывно связано с понятием «содержащее», а также, учитывая, что оно было сформулировано представителями математической школы, с понятиями «положение» и «расстояние». Изначально пространство считалось геометрическим пространством. Зенон Элейский спустя столетие вновь поднял вопрос о том, что такое пространство, в своих знаменитых парадоксах. Следующий шаг в этом направлении совершил Платон в диалоге «Тимей», написанном во второй половине IV века до н. э.: «Есть бытие, есть пространство и есть возникновение, и эти три [рода] возникли порознь еще до рождения неба».

Сначала он рассматривает бытие и возникновение:

«Так, ум рождается в нас от наставления, а истинное мнение — от убеждения; первый всегда способен отдать себе во всем правильный отчет, второе — безотчетно; первый не может быть сдвинут с места убеждением, второе подвластно переубеждению; наконец, истинное мнение, как приходится признать, дано любому человеку, ум же есть достояние богов и лишь малой горстки людей. Если все это так, приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, нерожденная и негибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя — ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и вновь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением».

Так, «бытие» представляет собой идеи в трактовке Платона, которые являются тождественными, незримыми и никак не ощущаемыми, кроме как силой разума. «Возникновение» есть реальность, ощущаемая чувствами, изменяющаяся, имеющая начало и конец, недолговечная, подобная бытию, но отличающаяся от него. Между ними, по Платону, находится пространство:

«В-третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему роду, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто всякому бытию непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует».

В этом определении Платона содержатся все важнейшие особенности нашего определения пространства.

Следовательно, пространство есть нечто, расположенное между бытием и возникновением. К бытию можно прийти лишь с помощью истинного мнения и строгих рассуждений, а к понятию пространства мы приходим лишь посредством «незаконных умозаключений». Пространство, хотя и обладает некоторыми свойствами бытия (оно является неизменным и неразрушимым), содержит в себе все осязаемое, воспринимаемое чувствами, и в этом оно отличается от бытия. Именно пространство порождает все, что существует, так как существует лишь то, что занимает определенное место и положение. Возможно, именно здесь, на полпути между «бытием» и «возникновением», располагается то, что познается с помощью «незаконных умозаключений», которыми Платон считает математические рассуждения, то, «во что поверить почти невозможно».

Первое определение, которое мы даем пространству, — это «нечто, что содержит нас», то есть дом, или «нечто, что содержит богов», то есть храм, поэтому неудивительно, что когда представление о пространстве стало частью культуры и перекочевало в обыденный язык, то архитектура, в особенности греческая, стала первым эстетическим воплощением пространства, первой точкой соприкосновения математической идеи с миром искусства.

Если пространство неизменно, то архитектура есть способ организовать его, провести линии, формирующие его структуру, возвести стены, ограничивающие его и определяющие подпространства, содержащиеся в пространстве, но созданные по его образу и подобию. Таким образом, математики в некотором роде изначально выступали как посредники в процессе виртуализации окружающего нас пространства, используя геометрию, которая в симбиозе с искусством является основой архитектуры.

С живописью все обстоит иначе. Создание картины — это медленный и трудоемкий процесс. Виртуализация реальности, чего-либо осязаемого на поверхности картины представляет трудность совершенно иного рода: мы осязаем пространство в трех измерениях, а поверхность картины является плоской. Необходимо использовать некое преобразование, чтобы пространство, воспринимаемое глазом, совпало с виртуальным пространством, которое видит зритель при взгляде на картину.

Желание правдоподобно изобразить реальность привело к необходимости найти способы ее представления. И хотя первые попытки, предпринятые в этом направлении, можно увидеть на некоторых фресках Помпеи, в полной мере приемы достоверного изображения реальности были открыты лишь в эпоху Возрождения. Как мы уже увидели, связь между живописью и понятием пространства возникла с изобретением перспективы в период кватроченто.

Одновременно с этим в живописи появилось новое понятие пространства: оно перестало содержать исключительно реальные предметы, которые могут быть изображены, и стало включать воображаемые объекты, которые, будучи изображенными на картине, становились «виртуально реальными».

Пространство по Декарту и Ньютону

В XVII веке представления математиков о пространстве начали видоизменяться. Были предприняты попытки дать ему более точное определение на основе идей Платона. Декарт определял пространство так:

«… в воображаемой математической материи, в пространстве, неограниченно простирающемся в длину, ширину и высоту или глубину, делимом на разные части, которые могут иметь различные формы и величины и перемещаться во всех направлениях».

(Декарт, 1637)

Ньютон, в свою очередь, выдвинул идею «абсолютного пространства»:

«Абсолютное пространство по своей природе, без связи с чем-либо внешним, всегда остается неизменным и неподвижным».

(Ньютон, 1687)

Как мы уже говорили, оба эти определения отражают одну и ту же парадигму пространства как содержащего все сущее, однако являются более абстрактными и четкими. Однако пространство по-прежнему было связано с природой и содержало исключительно реальные предметы, то есть те, что можно постичь органами чувств. Тем не менее это уже абстрактное пространство, которое существует независимо от объектов, в нем содержащихся, и может быть проанализировано геометрически.

Пабло де Вальядолид

Картина Веласкеса, которую мы рассмотрим с точки зрения математики, и определение пространства, данное Декартом, были созданы одновременно и по сути схожи. Фон картины Веласкеса очаровывает, поскольку не является реальным, то есть изображает не что-то конкретное, а абстрактное пространство само по себе. Хосе Ортега-и-Гассет, размышляя о фоне этой картины, писал:

«Эти краски не изображают какой-либо объект, реальный или воображаемый, четкий или расплывчатый. На фоне не изображены ни предмет, ни одна из стихий. Это не земля, не вода и не воздух. Автор, нанеся эти краски на холст, хотел исключить из нашего поля зрения любые формы и фигуры, отвлечь наше внимание от всего, кроме фигуры шута. С этой целью он закрасил холст однородно и единообразно, так что ничто не отвлекает и не привлекает внимания, и, кроме того, он использует светло-бурый цвет, созданный в мастерской исключительно с целью воплотить художественный прием: выделить фигуру Пабло, ее объем и материальность <…>».

Три картины, авторы которых вдохновлялись работой Веласкеса «Пабло де Вальядолид». Слева направо: «Рувье в роли Гамлета» Эдуарда Мане (1865–1866), Национальная галерея искусств, Вашингтон: «Франсиско Кабаррюс» Франсиско Гойя (1788), Банк Испании, Мадрид;«Флейтист» Эдуарда Мане (1866), музей Орсе, Париж.