Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

• Название: Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
• Автор: Франсиско Мартин Касальдеррей
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0711-3

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

---

* * *

СФЕРА И ЦИЛИНДР. ЦИЦЕРОН И АРХИМЕД

Как мы уже говорили, Марк Туллий Цицерон интересовался геометрией, а также, насколько можно судить, жизнеописаниями геометров. По его словам, в 75 году до н. э. он посетил Сицилию и обнаружил там могилу Архимеда, которую узнал по изображению вписанной в цилиндр сферы на надгробной плите. По легенде, Архимед считал своим величайшим достижением доказательство того, что объем сферы и площадь ее поверхности соответственно равны двум третьим объема и площади поверхности цилиндра, описанного вокруг нее.

Если обозначить радиус сферы за г, то радиус основания описанного цилиндра также будет равен r, высота — 2r. Обозначив за Vs объем сферы, за Vc — объем цилиндра, получим:

Аналогично, обозначив за Ss площадь поверхности сферы, за Sc — общую площадь поверхности цилиндра (площадь боковой поверхности и площадь оснований), получим:

Подставив в эти формулы размеры Пантеона, где радиус сферы равен 21,72 м, получим:

Без учета выступов общая площадь внутренней поверхности Пантеона, включая площадь поверхности пола, в пять раз больше площади пола, примерно равной 1,482 м2.

* * *

Санта-Мария-Новелла. Гуманистическая архитектура и группы Леонардо

Работы над фасадом церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции были начаты в 1350 году, однако на первом этапе была завершена лишь нижняя его половина. В 1439 году, во время Флорентийского собора, который проходил в этой церкви, было принято решение завершить строительство. Несколько лет спустя эта задача была поручена Леону Баттисте Альберти. Альберти, автор «Десяти книг о зодчестве» и первого трактата о перспективе, спроектировал верхнюю половину фасада, сделав ее модульной, пропорциональной, равновесной, ритмичной, гармоничной и красивой. Пропорция, ритм, равновесие, красота — эти свойства архитектурных работ Альберти обозначал одним латинским словом concinnitas.

Фасад церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции.

(рисунок: АМА; фотография: FMC)

Парус корабля, раздуваемый ветром, — герб семейства Ручеллаи, изображенный на фасаде церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции.

(источник: FMC)

Первый камень современного здания церкви Санта-Мария-Новелла был заложен в день Святого Луки в 1246 году. Ранее на этом месте располагалась небольшая старинная церковь, построенная монахами-францисканцами по прибытии во Флоренцию. Строительные работы продолжались до середины следующего столетия. Церковь была освящена лишь в 1420 году папой Мартином V, резиденция которого располагалась во Флоренции.

На первом этапе работ над фасадом были построены шесть внутренних арок, две боковые двери в готическом стиле и круглые слепые арки, выполненные из белого и зеленого мрамора, имитирующие арки баптистерия Сан-Джованни. Работы были приостановлены, когда не были завершены ни центральный карниз, ни центральный портал.

* * *

«ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ИЗ КНИГИ»

Пол Эрдёш (1913–1996) считал, что существует Книга, в которой Бог записал все самые красивые доказательства математических теорем. Он говорил, что у математиков нет причин верить в Бога, но они должны верить в существование Книги. Доказательства из Книги, как и шедевры архитектуры, обладают тем, что Альберти называл concinnitas, — пропорциональностью, равновесием, красотой.

Понять значение concinnitas нетрудно, если взглянуть на фасад церкви Санта-Мария-Новелла математическим взглядом, и еще проще, если вы вспомните некоторые доказательства, которые, как вам кажется, могут содер- жаться в Книге.

Пол Эрдёш (1992).

* * *

Джованни Ручеллаи, известный купец, обратился к своему архитектору и другу Леону Баттисте Альберти, чтобы тот завершил проект церкви. Альберти решил покрыть фасад белым и зеленым мрамором, изменив внутреннее убранство церкви, вместе с тем обеспечив гармоничность и пропорциональность здания. Внутренняя часть, выполненная в средневековом стиле, осталась почти нетронутой. К ней был добавлен центральный портал в духе римского Пантеона, а также пилястры, выполненные в стиле эпохи Возрождения. Он также спроектировал верхнюю часть здания, отделенную широким фризом, о котором мы поговорим чуть позже. Из-за особого расположения отверстия на фасаде рядом с ним Альберти поместил новый квадратный элемент, смещенный по вертикали и разделенный на три части четырьмя пилястрами. Центральные пилястры были в два раза шире боковых. Разделив архитектурное пространство на равные прямоугольники, архитектор тем самым определил основную единицу длины, которую затем использовал во всем проекте. Альберти увязал уже построенную нижнюю часть здания с новыми архитектурными элементами, установив соотношения между размерами, которые выражались кратными и дробными числами.

Пропорции церкви Санта-Мария-Новелла. Основным элементом композиции является квадрат.

 (источник: FMC)

* * *

ПОНЯТИЕ ГРУППЫ

Группа в математике — это множество G, на котором определена операция °. Говорят, что множество G с заданной на нем операцией ° (G, °) является группой, если они обладают следующими свойствами.

1. Операция является внутренней, то есть результатом этой операции с любыми двумя элементами множества будет элемент этого же множества.

2. Операция является ассоциативной. Иными словами, для любой тройки элементов группы результат операции над ними одинаков вне зависимости от того, в каком порядке она будет выполняться.

3. Наличие нейтрального элемента.

Существует единственный элемент

4. Наличие обратного элемента.

Для любого элемента х группы существует элемент x' такой, что

Изометрия — это геометрическое преобразование, оставляющее неизменным расстояния между элементами множества. Иными словами, изометрия — это «жесткое» перемещение, которое не деформирует множество. Примерами изометрии на плоскости являются поворот вокруг точки, параллельный перенос и осевая симметрия (отражение). Изометрией также считается скользящая симметрия — контаминация параллельного переноса и осевой симметрии, ось которой параллельна направлению переноса.

ГРУППЫ ЛЕОНАРДО

Группы Леонардо — это группы движений с конечным числом элементов и точкой, положение которой остается неизменным вне зависимости от применяемого движения. Группы Леонардо содержат только повороты и различные виды отражений (зеркальной симметрии).

Существует два вида групп Леонардо. Первый — циклические группы, состоящие из одного поворота на некоторое число градусов, причем 360° делится на это число без остатка. Примером такой группы является С3, содержащая поворот g на 120°. Элементами этой группы являются:

С3  = {Id, g, g2},

где Id — нейтральный элемент.

Группа С3 с обозначенной фиксированной точкой, которая является центром вращения.

Ко второму типу относятся так называемые диэдрические группы, образованные поворотом и симметрией, ось которой проходит через центр вращения. Такие группы обозначаются Dn.

Слева — фигура, инвариантная для D3. Справа обозначены оси симметрии и повороты.

Например, D3 состоит из поворота g на 120° и симметрии s. Элементами этой группы являются:

D3 = {Id, g, g2, s, s°g, s°g2}.

Результат применения к исходной фигуре F движений Id, g и g2.

Результат применения к исходной фигуре F движений s, g°s и g2°s.

Группа D1 образована единственной симметрией.