Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

• Название: Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
• Автор: Франсиско Мартин Касальдеррей
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0711-3

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

---

Группа D1 образована единственной симметрией.

* * *

Фриз церкви Санта-Мария-Новелла с 15 розами. Каждая имеет различную форму и вписана в квадрат.

(источник: АМА)

Совокупность архитектурных элементов вписана в квадрат, который, в свою очередь, делится на четыре квадрата осью симметрии и верхней границей фриза. Аттик, возведенный над фризом, вписан в квадрат, в четыре раза меньший большого квадрата. Чтобы дополнить композицию и компенсировать разницу высот центрального и боковых нефов, архитектор использовал две треугольные волюты со скругленными краями, в которые вписаны две окружности. Аттик завершается фронтоном, в который вписана окружность с изображением солнца — герб этого района Флоренции. Диаметр центрального отверстия, если считать вместе с окаймлением, в два раза больше диаметра трех окружностей — верхней, расположенной на фронтоне, и двух боковых. В композиции, как можно увидеть невооруженным глазом, доминируют квадраты. Также можно заметить, что несколько раз используется золотое сечение, правда, с меньшей точностью, а также другие соотношения. Например, ширина и высота центрального портала относятся как 2:3.

Некоторые примеры использования золотого сечения.

(источник: FMC) 

Использование подобных соотношений (не только золотого сечения) делает проект модульным, что упрощает его реализацию, а также имеет чисто эстетическую функцию, делая гармоничным сочетание различных частей единого целого.

Квадрат, в который вписана волюта, равен 1/16 большого квадрата. Соотношение сторон дверей церкви равно 2:3.

 (источник: FMC)

Результат впечатляет: двухцветное здание становится сбалансированным, ритмичным и гармоничным. Заострим внимание на центральном фризе. В нем выделяются 15 квадратов зеленого мрамора, в каждый из которых вписана роза. Если смотреть на здание невооруженным глазом, розы практически незаметны. Сделав снимок телеобъективом, мы сможем восстановить их и подробнее рассмотреть их форму. Они изготовлены из мрамора трех цветов: зеленого, белого и розового.

Рассмотрим, какие группы соответствуют каждой розе фриза. Для этого пронумеруем розы слева направо.

Первой и второй розе соответствует группа D5, образованная поворотом на 72° и симметрией относительно вертикальной оси.

Первая и вторая роза центрального фриза церкви Санта-Мария-Новелла.

Внешней части третьей розы соответствует группа D16, центральной части — D8, но так как внутренняя часть розы содержит четырехугольник, в сумме этой розе соответствует D4. Привлекает внимание тот факт, что ось симметрии повернута относительно вертикали на 11,5° (следовательно, остальные будут повернуты на 56,5°, 101,5° и 146,5°).

Третья роза.

Четвертой розе соответствует D8, но так как внутри кольца расположена шестиконечная звезда, то искомой группой будет D2.

Четвертая роза.

Пятой розе, равно как шестой и седьмой, вновь соответствует D4.

Пятая роза.

Шестая роза.

Седьмая роза.

Восьмой розе, занимающей центральное положение, очевидно соответствует D6, на что указывает центральная шестиконечная звезда.

Восьмая роза.

Девятой розе вновь соответствует D4.

Девятая роза.

Десятая роза — одна из самых интересных. Симметрия центральных элементов, ставящая этой розе в соответствие D8, нарушается обрамляющими ее тюльпанами. Поэтому эта роза не имеет осей симметрии и ей соответствует C8.

Десятая роза.

Одиннадцатой розе очевидно соответствует D6, следующей — D8.

Одиннадцатая роза.

Двенадцатая роза.

Тринадцатой розе, если не учитывать ее центральное кольцо, соответствует D8. Однако если мы рассмотрим ее подробнее, то увидим, что внутри этого кольца изображена пятиконечная звезда. Так как числа 5 и 8 являются взаимно простыми, эта роза обладает исключительно центральной симметрией. Следовательно, ей соответствует D1.

Тринадцатая роза.

Четырнадцатой розе вновь соответствует D4  — эта группа встречается среди всех пятнадцати роз чаще остальных.

Четырнадцатая роза.

Наконец, в пятнадцатой розе используются различные пятиугольники, однако в ее центре расположен треугольник, поэтому ей вновь будет соответствовать D1 так как для этой розы характерна единственная симметрия.

Пятнадцатая роза.

В итоге, за исключением десятой розы, которой соответствует циклическая группа С8, всем остальным соответствуют диэдрические группы: двум розам — D1 одной — D2, шести — D4, двум — D5, еще двум — D6, одной — D8.

Флоренция — город, полный искусства и математики. Неудивительно, что она является одним из самым популярных мест отдыха туристов. Если вы планируете побывать в этом городе на реке Арно, мы советуем не ограничиваться посещением знаменитого моста Понте Веккьо и Пьяццале Микеланджело, с которой виден весь город, и совершить «математическую» прогулку. Зайдите на немноголюдную площадь перед церковью Санта-Мария-Новелла и не спеша полюбуйтесь ее изумительным фасадом.

Библиография

ALBERTI, L.B.,On Painting, New Haven and London: Yale University Press, 1966.

DURERO, A., De la Medida, Madrid, Akal Ediciones, 2000.

FIELD, J.V., The Invention of Infinity. Mathematics and Art in the Renaissance, Oxford, Oxford University Press, 1997.

FRANCESCA, P. D., De prospectiva pingindi, Florencia, Casa Editrice Le Lettere, 2005.

MAETZKE, A.M., Piero della Francesca, Milán, Silvana Editoriale, 1998.

MANETTI, A., Vita di Filippo Brunelleschi, Roma, Salerno Editrice, 1992.

MARTfN CASALDERREY, F., Cardano у Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano, Madrid, Nivola, 2000.

—: Cardano у Tartaglia. La aventura de la ecuación cúbica, Madrid, Nivola, 2009.

—: «Arte con ojos matematicos. Ha vuelto para mirarnos», Valencia, Suma, 57, págs. 85–88, 2008.

—: «Е1 Greco en otra dimensión», Valencia, Suma, 59, pags. 67–72, 2008.

—: «Un Zurbarán anamórfico», Valencia, Suma, 58, págs. 81–86, 2008.

—: «Piero della Francesca у el engano de los ojos. I El espacio», Valencia, Sumat 61, págs. 63–70, 2009.

—: «Piero della Francesca у el engano de los ojos. II La luz»,Valencia, Sumat 62, págs. 63–68, 2009.

—: «Velázquez у el retrato del espacio», Valencia, Suma, 60, págs. 73–78, 2009.

—: «Masaccio у la perspectiva matemática», Valencia, Suma, 63, págs. 83–88, 2010.

—: «Santa Maria Novella. Armonia bicolor»,Valencia, Sumaf 64, 2010.

PANOFSKY, E., La perspectiva сото forma simbolica, Barcelona, Tusquets Editores, 1999.

POGGETTO, P.D., Piero e Urbino, Piero e le Corti rinascimentali, Venecia, Marsilio Editori, 1992.

STIERLIN, H. El Imperio Romano. Desde los etruscos a la caida del Imperio Romano. Singapur, Taschen, 2002.

TOMAN, R., El arte del Renacimiento en Italia. Arquitectura. Escultura. Pintura. Dibujo, Colonia, Konemann, 1999.

VASARI, G., Las vidas de los más excelentes arquitectos, pintores у escultores italianos desde Dimabue a nuestros tiempos, Madrid, Cátedra, 2002.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 16

Франсиско Мартин Касальдеррей

Обман чувств. Наука о перспективе

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Выпускающий редактор: Людмила Виноградова

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов